[金牛角王]金牛教辅畅响双优卷数学

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　　金牛教辅畅响双优卷数学

　　一、选择题： ： (本题满分 42 分，每小题 7 分)

　　1 .已知实数 , , a b c 满足 2 13 3 90 a b c + + = ， 3 9 72 a b c + + = ，则

　　3

　　2

　　= ( )

　　A. 2. B. 1. C. 0. D. 1 - .

　　【答】B.

　　已知等式可变形为 2( 2 ) 3(3 ) 90 a b b c + + + = ， 3( 2 ) (3 ) 72 a b b c + + + = ，解得 2 18 a b + = ，

　　3 18 b c + = ，所以

　　3

　　2

　　1.

　　2 .已知实数 , , a b c 满足 1 a b c + + = ，

　　1 1 1

　　0

　　2

　　( 5) c+ =

　　( )

　　A.125. B.120. C.100. D.81.

　　【答】C.

　　令 1 a x + = ， 3 b y + = ， 5 c z + = ，则 ( 1) ( 3) ( 5) 10 x y z a b c + + = + + + + + = ，且

　　由

　　0

　　x y z

　　+ + = ，所以 0 xy yz zx + + = .

　　所以

　　2 2 2 2 2 2 2

　　( 1) ( 3) ( 5) ( ) 2( ) 100 a b c x y z x y z xy yz zx + + + + + = + + = + + - + + = .

　　3 .若正整数 , , a b c 满足 a b c £ £ 且 2( ) abc a b c = + + ，则称 ( , , ) a b c 为好数组.那么，好数组的个数

　　为 ( )

　　A. 4. B.3. C.2. D.1.

　　【答】B.

　　若 ( , , ) a b c 为好数组，则 2( ) 6 abc a b c c = + + £ ，所以 6 ab£ .显然， a 只能为 1 或 2.

　　若 a =2，由 6 ab£ 可得 2 b = 或 3， 2 b = 时可得 4 c = ， 3 b = 时可得

　　5

　　2

　　c = (不是整数);

　　若 a =1，则 2(1 ) bc b c = + + ，于是可得 ( 2)( 2) 6 b c - - = ，可求得 ( , , ) a b c =(1，3，8)或(1，4，

　　5).

　　综合可知：共有 3 个好数组，分别为(2，2，4)，(1，3，8)和(1，4，5).

　　2017 年全国初中数学联合竞赛(初二年级)试题参考答案及评分标准 第 1 页(共 5 页)

　　4 .已知正整数 , , a b c 满足

　　2

　　6 3 9 0 a b c - - + = ，

　　2

　　6 0 a b c - + + = ，则

　　2 2 2

　　a b c + + = ( )

　　A. 424. B. 430. C. 441. D. 460.

　　【答】C.

　　由已知等式消去 c 整理得

　　2 2

　　( 9) 3( 1) 75 a b - + - = ，所以

　　2

　　3( 1) 75 b- £ ，又 b 为正整数，解得 1 6 b £ £ .

　　若 b =1，则

　　2

　　( 9) 75 a- = ，无正整数解;

　　若 b =2，则

　　2

　　( 9) 72 a- = ，无正整数解;

　　若 b =3，则

　　2

　　( 9) 63 a- = ，无正整数解;

　　若 b =4，则

　　2

　　( 9) 48 a- = ，无正整数解;

　　若 b =5，则

　　2

　　( 9) 27 a- = ，无正整数解;

　　若 b =6，则

　　2

　　( 9) 0 a- = ，解得 9 a = ，此时 18 c = .

　　因此， 9 a = ， b =6， 18 c = ，故

　　2 2 2

　　a b c + + = =441.

　　5 .梯形 ABCD 中， // AD BC ， 3 AB = ， 4 BC = ， 2 CD = ， 1 AD = ，则梯形的面积为 ( )

　　A. 10 2

　　3

　　. B. 10 3

　　3

　　. C. 3 2 . D. 3 3 .

　　【答】A.

　　作 // AE DC ， AH BC ^ ，则 ADCE 是平行四边形，所以 1 CE AD = = ，

　　2 AE CD = = ，从而 4 1 3 BE BC CE AB = - = - = = ，所以△ ABE 是等腰三角

　　形，底边 AE 边上的高为

　　2 2

　　3 1 2 2 - = .

　　所以△ ABE 的面积

　　1 1

　　2 2

　　2 2

　　S AE BE AH = × × = × × ，故可得

　　4 2

　　3

　　AH = .

　　所以梯形的面积为

　　1 4 2 10 2

　　(1 4)

　　2 3 3

　　´ + ´ = .

　　6 .如图，梯形 ABCD 中， // AD BC , 90 A Ð = ° ，点 E 在 AB 上，若 42 AE = ，

　　28 BE = ， 70 BC = ， 45 DCE Ð = ° ，则 DE = ( )

　　A. 56. B. 58. C.60. D. 62.

　　【答】B.

　　作 CF AD ^ ，交 AD 的延长线于点 F ，将△ CDF 绕点 C 逆时针方向旋转 90° 至

　　△ CGB ，则 ABCF 为正方形，且 45 ECG ECD Ð = °=Ð ， CG CD = ， CE CE = ，所以，△ ECG ≌

　　△ ECD ，所以 EG ED = .

　　设 DE x = ，则 28 DF BG x = = - ， 70 98 AD DF x = - = - .

　　在 Rt △ EAD 中，有

　　2 2 2

　　42 (98 ) x x + - = ，解得 58 x = .

　　2017 年全国初中数学联合竞赛试题(初二年级)参考答案及评分标准 第 2 页(共 5 页)

　　D A

　　B C H E

　　F A

　　C B

　　E

　　D

　　G

　　二、填空题： ： (本题满分 28 分，每小题 7 分)

　　1 .使得等式

　　3

　　1 1 a a + + = 成立的实数 a 的值为_______.

　　【答】 8 .

　　由所给等式可得

　　3 2

　　(1 1 ) a a + + = .令 1 x a = + ，则 0 x ³ ，且

　　2

　　1 a x = - ，于是有

　　3 2 2

　　(1 ) ( 1) x x + = - ，

　　整理后因式分解得

　　2

　　( 3)( 1) 0 x x x - + = ，解得

　　1

　　0 x = ，

　　2

　　3 x = ，

　　3

　　1 x = - (舍去)，所以 1 a = - 或 8 a = .

　　验证可知： 1 a = - 是原方程的增根， 8 a = 是原方程的根.

　　所以， 8 a = .

　　2. .已知△ ABC 的三个内角满足 100 A B C < < < ° ，用 q 表示 100 , , C C B B A °- - - 中的最小者，则

　　q 的最大值为_______.

　　【答】 20° .

　　因为 q 表示 100 , , C C B B A °- - - 中的最小者，所以 100 C q £ °- ， C B q £ - ， B A q £ - ，所以

　　6 3(100 ) 2( ) ( ) 300 ( ) 120 C C B B A A B C q £ °- + - + - = °- + + = ° ，所以 20 q £ ° .

　　又当 100 20 C C B B A °- = - = - = ° ，即 80 , 60 , 40 C B C = ° = ° = ° 时，满足题设条件，故 q 可取到

　　20° .

　　因此， q 的最大值为 20° .

　　3 .设 , a b 是两个互质的正整数，且

　　3

　　=

　　+

　　为质数，则 p = .

　　【答】7.

　　因为 , a b 互质，所以 a b + 与 a 和 b 都互质，而

　　3

　　8ab

　　p

　　a b

　　=

　　+

　　为质数，所以

　　3

　　1,

　　3

　　ï

　　+ î

　　可得 1 a b = = ， 4 p = ，不合题意;

　　由

　　+ î

　　可得 7 a = ， 1 b = ， 7 p = ，符合题意;

　　所以 7 p = .

　　4 4 .20 个都不等于 7 的正整数排列成一行，若其中任意连续若干个数之和都不等于 7，则这 20 个数之

　　和的最小值为 .

　　【答】34.

　　2017 年全国初中数学联合竞赛(初二年级)试题参考答案及评分标准 第 3 页(共 5 页)

　　首先证明：对于任意 7 个正整数

　　1 2 7

　　, , , b b b L ，其中一定存在若干个数(至少一个，也可以是全部)之

　　和为 7 的倍数.

　　我们来考虑如下 7 个正整数

　　1 1 2 1 2 3 1 2 7

　　, , , , b b b b b b b b b + + + + + + L L ①

　　如果①中 7 个正整数有一个是 7 的倍数，则结论成立.

　　如果①中 7 个正整数没有一个是 7 的倍数，则它们除以 7 所得的余数只能为 1，2，…，6 这 6 种情况.所

　　以，其中一定有两个正整数除以 7 所得的余数相同，不妨设为

　　1 2 i

　　b b b + + + L 和

　　1 2 j

　　b b b + + + L

　　( 1 7 i j £ < £ )，于是

　　1 i j

　　b b

　　+

　　+ + L 是 7 的倍数.所以，结论成立.

　　对于 20 个都不等于 7 的正整数

　　1 2 20

　　, , , a a a L 中的任意 7 个数，由上述结论可知，其中一定有若干个

　　数的和是 7 的倍数，又由题设知，它不等于 7，所以，它大于或等于 14.

　　又因为 20=2×7+6，所以

　　1 2 20

　　2 14 6 34 a a a + + + ³ ´ + = L ②

　　另外，当

　　7 14

　　8 a a = = ，

　　1 2 20

　　, , , a a a L 中其余的数都为 1 时，

　　1 2 20

　　a a a + + + L =34，即②式等号成立.

　　所以，

　　1 2 20

　　a a a + + + L 的最小值为 34.

　　第二试

　　一、 、 (本题满分 0 20 分)设 A , B 是两个不同的两位数，且 B 是由 A 交换个位数字和十位数字所得，如

　　果

　　2 2

　　A B - 是完全平方数，求 A 的值.

　　解 设 10 A a b = + ， , a b 为正整数且 1 9 a £ £ ， 1 9 b £ £ ， a b ¹ ，则 10 B b a = + ，

　　2 2 2 2 2 2 2

　　(10 ) (10 ) 99( ) 3 11 ( ) ( ) A B a b b a a b a b a b - = + - + = - = ´ ´ - ´ + . ……………………5 分

　　因为

　　2 2

　　A B - 是完全平方数，所以 a b > ，且 11|( ) ( ) a b a b - ´ + .

　　又 1 8 a b £ - £ ， 1 18 a b < + < ，所以 11 a b + = . ……………………10 分

　　于是

　　2 2 2 2

　　3 11 ( ) A B a b - = ´ ´ - ，故 a b - 也是完全平方数，所以 a b - =1 或 4.

　　……………………15 分

　　如果 a b - =1，结合 11 a b + = 可求得 6 a = ， 5 b = .

　　如果 a b - =4，结合 11 a b + = 可知没有正整数解.

　　因此， 6 a = ， 5 b = ， A =65. ……………………20 分

　　二、(本题满分 25 分)如图，△ ABC 中， D 为 BC 的中点， DE 平分 ADB Ð ， DF 平分 ADC Ð ，

　　BE DE ^ ， CF DF ^ ， P 为 AD 与 EF 的交点.证明： 2 EF PD = .

　　2017 年全国初中数学联合竞赛试题(初二年级)参考答案及评分标准 第 4 页(共 5 页)

　　证明 设 2 ADB a Ð = ，则 180 2 ADC a Ð = °- ， ADE BDE a Ð =Ð = ，

　　90 ADF CDF a Ð =Ð = °- . ……………………5 分

　　由于△ BDE 是直角三角形，所以 90 90 EBD BDE a Ð = °-Ð = °- ，所以

　　EBD FDC Ð =Ð . ……………………10 分

　　又因为 D 为 BC 的中点，所以 BD DC = ，所以 Rt △ BDE ≌ Rt △ DCF ，

　　所以 BE CF = . ……………………15 分

　　又由 EBD FDC Ð =Ð 可知 // EB FD ，因此，四边形 BDFE 是平行四边形，故 // EF BD ，于是可得

　　PED BDE Ð =Ð ， PFD CDF Ð =Ð . ……………………20 分

　　又因为 BDE PDE Ð =Ð ， CDF PDF Ð =Ð ，所以 PED PDE Ð =Ð ， PFD PDF Ð =Ð ，所以

　　PE PD PF = = ，所以 2 EF PD = . ……………………25 分

　　分 三、(本题满分 25 分)已知 , , a b c 是不全相等的正整数，且

　　5

　　5

　　a b

　　b c

　　+

　　+

　　为有理数，求

　　2 2 2

　　a b c

　　a b c

　　+ +

　　+ +

　　的最

　　小值.

　　解 因为 , b c 是正整数， 5 是无理数，故 5 0 b c - ¹ .

　　而

　　2

　　2 2 2 2

　　5 ( 5 )( 5 ) (5 ) 5( )

　　5 5 5

　　a b a b b c ab bc b ac

　　b c b c b c

　　+ + - - + -

　　= =

　　- - +

　　为 有 理 数 ， 所 以

　　2

　　0 b ac - = ， 故

　　2

　　b ac = ，又 , , a b c 不全相等，不妨设 a b c > > . ……………………10 分

　　又

　　2 2 2 2 2 2 2 2

　　2 ( ) ( )( ) a b c a ac c b a c b a c b a c b + + = + + - = + - = + + + - ， 所 以

　　2 2 2

　　a b c

　　a b c

　　+ +

　　+ +

　　=

　　a c b + - ，为整数. ……………………15 分

　　当 1 c = 时，

　　2

　　a b = 为完全平方数，则 4 a ³ ，

　　2

　　3

　　( ) 0 3 3

　　2 4

　　a a

　　a c b a c ac c + - = + - = - + ³ + = ;

　　……………………20 分

　　当 2 c ³ 时， 1 3 a c b c + - ³ + ³ .

　　所以 3 a c b + - ³ ，且当 4 a = ， 2 b = ， 1 c = 时， 3 a c b + - = .

　　因此，

　　+ +

　　+ +

　　的最小值为 3. ……………………25 分

本文来源：https://www.chinawenwang.com/zuowen/4181.html