二阶不动点_n阶不动点

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　　n阶不动点

　　当你打开地图，找到你所在的位置，也许你不知道，但是你验证了一个数学中重要的定理——“不动点原理”中的“压缩影像定理”。如果你的地图还很不规则，严重的变形，那么你还做了数学家认为很困难的事—在复杂的情况下，找到了不动点。

　　解方程无疑是数学中非常重要的问题，诸如代数方程、函数方程、微分方程等等，这些方程都能改写成?(x)=x形式，这就是不动点原理，数学家证明了很多不动点存在定理，但是具体找到不动点，除了特殊情况，依然是十分困难的事情。

　　不动点原理有很多种形式，涉及到很多数学分支，有关科普性的介绍可以参见【1】，【2】，在此我们不展开详细讨论。

　　不动点原理有着很直观的几何意义，本文我们通过几个例子，试图使大家对不动点原理抽象的概念有一个直观的理解。

　　例一

　　假设你有一把精确的理想米尺A、将A缩小为B(不要求均匀按比例)，再任意的放到A上，这时在相同的位置上，A与B刻度很可能不同，例如B的10cm也许在A的15cm上。但是，不动点原理告诉我们，B上必有一点，在A，B上有相同的刻度，即所谓的“不动点”。用数学语言描述这一过程：如果一条线段经过连续变换F，但其每个点仍然在这个线段上，也就是F(A)包含在A中，则必有一点位置c不变，即F(c)=c。

　　如果是按比例缩小，我们可以用几何方法很容易证明这一命题【3，p136】。对一般情况，我们可以这样直观的证明：

　　设A的参数是t，压缩变换F: A→B(A包含B)，假设F可微分，v=dF/dt。想象两只蚂蚁a、b分别在A，B的起始端向终端爬行，a以速度1匀速运动，b以速度v(变速)运动，则a，b在相同的时刻分别在A，B的相同刻度上，直观的看，必有某个时刻T，a，b相遇，相遇的点就是“不动点”。

　　(但是要是具体找出这个点，随着F的复杂性会变得很困难。)

　　例二

　　我们再看二维的情景：将地图A，例如中国地图，缩小(不要求均匀按比例)后记为B，将B任意地放到原图A上，地图B的每一个点在A上都有了新的位置，也许B的北京在A的上海位置，南京在成都位置。但不动点原理告诉我们：B上必有一个点位置没有动，即该点在两张地图A、B上表示相同的位置。

　　如果按比例缩小，我们可以用平面几何(不很容易)证明【3，p138】。对一般情况，这个例子我们很难给出一个简单直观的证明(如果学过区间套定理，可以利用该定理证明，证明思路可参考后面列举的一段微博对话)，但我们可以给出一个很直观的解释：

　　想象你有一台精确的理想GPS，但是屏幕严重变形，如此，屏幕上显示一个变形且缩小的中国地图。如果我们把中国国土看作一个大的地图A，GPS屏幕上的地图看作这个地图的缩小B，那么屏幕上显示你当前位置的点就是这个所谓的“不动点”。

　　事实上，当你用地图查找你所处的位置，就是寻找不动点(附近)的过程，假若你的地图又很不规则，那么你正在做一件数学上很困难的事情，找到不动点(附近)。

　　例三

　　再看三维的例子：我们把一块理想的蛋糕A从各个方向(不一定各向均匀)压缩成B，并在A内部任意移动，则不动点原理告诉我们：蛋糕中必有一个点没有位移，即不动点。

　　类似例二，直观上，我们可以这样理解：

　　把中国国土连同1000米上空看作一个大的蛋糕，假设你有一台未来的三维精确理想的GPS，而且假设你在空中悬浮(坐飞机，热气球?)，你可以想象这个三维的GPS就是那个压缩后的蛋糕，这个GPS显示的你当前位置就是这个不动点。

　　看过上述3个例子，我们可以发现它们只是同一个问题在一、二、三维空间的直观描述。在这个过程中“图像压缩”了，因而，这一现象在数学中称作 “压缩影像定理”，它是诸多“不动点原理”中的一个，“压缩影像定理”有更一般的表述方式【1】，【2】。

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