[万能公式 三角函数]万能公式

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　　万能公式

　　万能公式，包括三角函数、导函数、函数公式等。

　　公式

　　(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1

　　(2)1+(tanα)^2=(secα)^2

　　(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2

　　证明下面两式，只需将一式，左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可

　　(4)对于任意非直角三角形，总有

　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

　　折叠证明

　　整理可得

　　得证

　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立

　　由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论

　　(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1

　　(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)

　　(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC

　　折叠证明

　　由余弦定理:a^2+b^2-c^2-2abcosC=0

　　正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

　　得 (sinA)^2+(sinB)^2-(sinC)^2-2sinAsinBcosC=0

　　转化 1-(cosA)^2+1-(cosB)^2-[1-(cosC)^2]-2sinAsinBcosC=0

　　即 (cosA)^2+(cosB)^2-(cosC)^2+2sinAsinBcosC-1=0

　　又 cos(C)=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB

　　得 (cosA)^2+(cosB)^2-(cosC)^2+2cosC[cos(C)+cosAcosB]-1=0

　　(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC

　　得证

　　(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC

　　折叠编辑本段公式形式

　　设tan(A/2)=t

　　sinA=2t/(1+t^2) (A≠2kπ+π，k∈Z)

　　tanA=2t/(1-t^2) (A≠2kπ+π，k∈Z)

　　cosA=(1-t^2)/(1+t^2) (A≠2kπ+π k∈Z)

　　就是说sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)来表示,当要求一串函数式最值的时候,就可以用万能公式,推导成只含有一个变量的函数,最值就很好求了.

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