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双曲函数解读

发布时间：1714185363 来源：文档文库

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1. 雙曲函數
我們在第四節考慮過自然指數函數ex，在某些應用上，有些特殊的函數是由ex和ex所組成。

定義0.6 exexexexsinhx,coshx 22sinhxexexcoshxexextanhx,cothx
coshxexexsinhxexex1212sechxxx,cschxxx
coshxeesinhxee
這類函數稱為雙曲函數（hyperbolic functions）。讀者可以發現雙曲函數的定義類似三角函數的定義，甚至符號也幾乎一樣。也是先定義sinhx和coshx,分別稱為雙曲正弦（hyperbolic sine）和雙曲餘弦（hyperbolic cosine），再由這兩個來定義其餘四個。
在上一節，我們發現三角函數和圓有很密切的關係，事實上(cost,sint可看成單位圓x2y21上某一點的座標，而(cosht,sinht可看成雙曲線x2y21上某一點的座標，參考下圖：
圖0-26
雙曲函數有一些恆等式類似三角恆等式，讀者可由定義自行驗證之。

(1 sinh(xsinhx (2 cosh(xcoshx

(3 cosh2xsinh2x1 (4 1tanh2xsech2x
(5 sinh(xysinhxcoshycoshxsinhy (6 cosh(xycoshxcoshysinhxsinhy

由雙曲函數的定義，可得到雙曲函數的圖形如下：

2. 反雙曲函數
由上面的圖形可看出sinhx和tanhx在區間(,是1-1的，但coshx沒有，如果限制coshx的定義域是[0,]時，coshx也是1-1的，這時它們均會有反函數。

ysinh1xxsinhy
ycosh1xxcoshy且y0,x1 ytanh1xxtanhy
因為雙曲函數是由自然指數函數來定義，而自然指數函數的反函數是自然對數函數，因此反雙曲函數可用自然對數函數來表示，是很自然的。

(1 sinh1xln(xx21,x

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/fa1762955ebfc77da26925c52cc58bd63086931d.html