高一数学下册全册教案

普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B]

第一章 基本初等函数（）

1.3.1正弦函数的图像与性质

（第一课时）

教学目标：

1、 理解并掌握作正弦函数图象的方法

2、 理解并熟练掌握用五点法作正弦函数简图的方法

教学重点：掌握作正弦函数图象的方法

教学过程

一、复习引入：

1、 三角函数的概念

2、 三角函数线

3、 函数图像的做法

二、讲解新课：

1、最基本的方法：描点法（列表描点）；

2、几何法：用单位圆中的正弦线——几何画法（多媒体演示）y=sinx x[0,2]

(1).先作单位圆，把⊙O1十二等分（当然分得越细，图象越精确）;

(2).十二等分后得对应于0, , , ,…2等角，并作出相应的正弦线;

(3).将x轴上从0到2一段分成12等份(2≈6.28)，若变动比例，今后图象将相应“变形”;

(4).取点，平移正弦线，使起点与轴上的点重合;

(5).描图（连接）得y=sinx x[0,2];

(6).由于终边相同的三角函数性质知 y=sinx (x[2k,2(k+1)],kZ,k0)与函数y=sinx (x[0,2])图象形状相同，只是位置不同——每次向左（右）平移2单位长;

3、正弦函数图象的五点作图法 y=sinx x[0,2]

介绍五点法: 五个关键点(0,0) (,1) (,0) (,-1) (2,0)

上面的五个点,在确定函数图象时起着关键作用.当这五个点描出后,正弦函数

y=sinx x[0,2]

的图象的形状就基本上确定了.需要注意的是，用五点法作图其优点是简便，但是得到的是函数的近似曲线，所以只有当精确度要求不高，并且比较熟练的情况下才能使用.

4、例子：

例1 作下列函数的简图

(1)y=sinx，x∈[0，2π]，　　　

(2)y=1+sinx，x∈[0，2π]，　

5、正弦函数的性质

(1)定义域：R，即（）

(2)值 域：[-1，1]（有界性）

最 值：时，；时，；

(3)周期性：由诱导公式知，当时，的每一个值都是它的周期，时，使它的最小正周期；

(4) 由sin(－x)＝－sinx

可知：y＝sinx为奇函数

正弦曲线关于原点O对称

(5) 从y＝sinx的图象上可看出：

当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1

当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1

结合上述周期性可知：

正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1

6、例子

例1 求使y＝sin2x，x∈R取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么

例2求y＝1+的定义域

小结：本节课我们学习了用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象，用五点法作正弦函数的简图．和正弦函数的性质.

1.3.1正弦函数的图像与性质

（第二课时）

教学目标：

1、理解振幅的定义；理解振幅变换和周期变换的规律;

2、会用“五点法”画y＝Asin(ωx＋)的图象；会用图象变换的方法画y＝Asin(ωx＋)的图象；

教学重点：掌握函数y＝Asin(ωx＋)图象的作法和性质

教学过程

一、复习引入：

正弦函数的图像和性质

二、讲解新课：

例1画出函数y=2sinx xR；y=sinx xR的图象

注：与y=sinx的图象作比较，结论：

1．y=Asinx，xR(A>0且A1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0到原来的A倍得到的

2．它的值域[-A, A] 最大值是A, 最小值是-A

3．若A<0 可先作y=-Asinx的图象 ，再以x轴为对称轴翻折

例2 画出函数y=sin2x xR；y=sinx xR的图象

注：1．函数y=sinωx, xR (ω>0且ω1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的倍（纵坐标不变）

2．若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图

例3 画出函数y＝sin(x＋)，x∈R；y＝sin(x－)，x∈R的简图

注：一般地，函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时＝平行移动｜｜个单位长度而得到

例4 画出函数y＝3sin(2x＋)，x∈R的简图

注：由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换

先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象

例子：

1如图a是周期为2π的三角函数y＝f（x）的图象，那么f（x）可以写成( )

Asin（1＋x)

Bsin（－1－x）

Csin（x－1）

Dsin（1－x）

2如图b是函数y＝Asin(ωx＋φ）＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )

AA＝3，Ｔ＝，φ＝－

BA＝1，Ｔ＝，φ＝－

CA＝1，Ｔ＝，φ＝－

DA＝1，Ｔ＝，φ＝－

3如图c是函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象的一段，它的解析式为( )

A B

C D

4函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）在同一周期内，当x＝时，有yｍax＝2，当x＝0时，有ymin＝－2 ，则函数表达式是

5如图d是f（x）＝Asin（ωx＋φ），A＞0，｜φ｜＜的一段图象，则函数f（x）的表达式为

6如图e，是f（x）＝Asin（ωx＋φ），A＞0，｜φ｜＜的一段图象，则f（x）的表达式为

7如图f所示的曲线是y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的图象的一部分，求这个函数的解析式

8函数y＝Asin（ωx＋φ）＋ｋ（A＞0，ω＞0）在同一周期内，当x＝时，y有最大值为，当x＝时，y有最小值－，求此函数的解析式

9已知f（x）＝sin（x＋θ）＋cos（x－θ）为偶函数，求θ的值

10．由图g所示函数图象，求y＝Asin（ωx＋φ）

（｜φ｜＜π）的表达式

11．函数y＝Asin(ωx＋φ) （｜φ｜ ＜π＝的图象如图h，求函数的表达式

小结：函数y＝Asin(ωx＋)图象的作法和性质

课堂练习：第52页练习A、B

课后作业：第65页习题1-3A

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第一章 基本初等函数（）

1.3.3余弦函数、正切函数的图像和性质

教学目标：

1、理解并掌握作余弦函数和正切函数图象的方法．

2、理解并掌握余弦函数、正切函数

教学重点：掌握余弦函数和正切函数图象作法和性质

教学过程

一、复习引入：

正弦函数的图像和性质

二、讲解新课：

1、用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象（几何法）：

为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．

2、余弦函数y=cosx x[0,2]的五个点关键是

(0,1) (,0) (,-1) (,0) (2,1)

现在把上述图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=cosx，x∈R的图象，

3、正切函数的图象：

我们可选择的区间作出它的图象

根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数，且的图象，称“正切曲线”

4、余弦函数的性质：

（1）、定义域：

余弦函数的定义域是实数集R［或(－∞，＋∞)］，

（2）、值域

余弦函数的值域是［－1，1］

y＝cosx，x∈R

①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1

②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1

（3）、周期性

余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π

（4）、奇偶性

y＝cosx为偶函数

余弦曲线关于y轴对称

（5）、单调性

余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1

5、正切函数的性质：

(1)．定义域：，

(2)．值域：R

(3)．观察：当从小于，时，

当从大于，时，

(4)．周期性：

(5)．奇偶性：奇函数

(6)．单调性：在开区间内，函数单调递增

6、例子：

例1 求使y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么

例2求y＝的定义域

例3求函数y＝－cosx的单调区间

例4 求y＝3cosx的周期

例5 判断cos(－)－cos(－)大于0还是小于0

例6 求函数y＝的值域

小结：本节课我们学习了余弦函数和正切函数图象作法和性质

课堂练习：第60页练习A、B

课后作业：第65页习题1-3A

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第一章 基本初等函数（）

1.3.3已知三角函数值求角

教学目标：

1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤

2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦、正切值求出范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合

教学重点：掌握余弦函数和正切函数图象作法和性质

教学过程

一、复习引入：

1、 单位圆与三角函数线

2、 诱导公式

二、讲解新课：

1、已知三角函数求角：

首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的;已知三角函数值求角是多值的

2、、、的含义要清楚

3、例子

例1 (1)已知，求x

(2)已知，求x

(3)已知，求x

例2 (1)已知，求

(2)已知，且，求x的值

(3)已知，求x的值

例3 （1）已知，求x（精确到）

（2）已知且，求x的取值集合

（3）已知，求x的取值集合

例4 直角锐角A，B满足：

例5 1用反三角函数表示中的角x

2用反三角函数表示中的角x

例6已知，求角x的集合

例7求的值

例8求y = arccos(sinx), ()的值域

小结：本节课我们学习了已知三角函数值求角的解题步骤,要会由已知角的正弦值、余弦、正切值求出范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合

课堂练习：第64页练习A、B

课后作业：第65页习题1-3A

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第二章 平面向量

2.1.1向量的概念

教学目标：

1、要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等；

2、了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，根据图形判定向量是否平行、共线、相等.

教学重点：掌握向量的意义、表示方法以及有关零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念

教学过程

一、复习引入：

在物理中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.还有一些量，如我们所学习的力、位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.

二、讲解新课：

1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量

注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小

2从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质

2.向量有固定向量，自由向量等，我们主要学习自由向量

3.向量的表示方法：

①用有向线段表示；

②用字母ａ、ｂ等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：；

④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.

4.零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作的方向是任意的

注意与0的区别

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.

说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.

5.平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定0与任一向量平行.

6.相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；

（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.

7.共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

说明：1.有向线段是向量最好的模型

2.向量不能比较大小

3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.

8．例：设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量

小结：本节课我们学习了已知三角函数值求角的解题步骤,要会由已知角的正弦值、余弦、正切值求出范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合

课堂练习：第84页练习A、B

课后作业：略

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第二章 平面向量

2.1.2向量的加法

教学目标：

要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向量计算

教学重点：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.

教学过程

一、复习引入：

1.向量的概念

2.向量的表示方法

二、讲解新课：

1、某人从A到B，再从B按原方向到C，

则两次的位移和：

2、若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，

则两次的位移和：

3、某车从A到B，再从B改变方向到C，

则两次的位移和：

4、船速为，水速为，

则两速度和：

5、 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法

几何中向量加法是用几何作图来定义的，一般有两种方法，即向量加法的三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）当向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的，有三角形法则可以推广得到加法的多边形法则

说明：（1）两相向量的和仍是一个向量；

（2）当向量与不共线时，|+|<||+||;

（3）当与同向时，则+、、同向，且|+|=||+||,当与反向时，若||>||,则+的方向与相同，且|+|=||-||;若||<||,则+的方向与相同，且|+b|=||-||.

（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加----多边形法则

5．向量加法的交换律： +=+

6．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)

小结：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.

课堂练习：第88页练习A、B

课后作业：第100页 1、3，第101页1

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第二章 平面向量

2.1.3向量的减法

教学目标：

⑴了解相反向量的概念；

⑵掌握向量的减法，会作两个向量的减向量

教学重点：掌握向量的减法，会作两个向量的减向量

教学过程

一、复习引入：

1.向量的概念

2.向量的表示方法

3．向量的加法

二、讲解新课：

1、用加法的逆运算定义向量的减法：

向量的减法是向量加法的逆运算：

若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a b

2、 “相反向量”定义向量的减法

1“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量。记作 a

2规定：零向量的相反向量仍是零向量。

任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (a) = 0

如果a、b互为相反向量，则a = b, b = a, a + b = 0

3向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。

即：a b = a + (b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。

3、减法的三角形法则：在平面内取一点O，

作= a, = b, 则= a b

即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量

注意：1表示a b强调：差向量“箭头”指向被减数（共起点，方向指向被减）

2用“相反向量”定义法作差向量，a b = a + (b)

例子：

例1 平行四边形ABCD中， =a, =b，用a、b表示向量

例2 已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd

小结：用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量.

课堂练习：第90页练习A、B

课后作业：第100页 1、3、6，第101页2、3

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第二章 平面向量

2.1.4数乘向量

教学目标：

1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；

2.掌握实数与向量的积的运算律

教学重点：掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义

教学过程

一、复习引入：

1.向量的概念

2.向量的表示方法

3．向量的加法，减法及运算律

二、讲解新课：

1．实例引入：已知非零向量，作出++和()+()+()

==++=3

==()+()+()=3

（1）3与方向相同且|3|=3||；（2）3与方向相反且|3|=3||

2．实数与向量的积的定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ，

λ的长定义为|λ|=|λ|||，λ的方向定义为：λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反.

λ=0或=时规定：λ=

3．数乘的几何意义就是把向量沿向量的方向或反方向放大或缩小

4．运算定律 结合律：λ(μ)=(λμ) ①

第一分配律：(λ+μ) =λ+μ ②

第二分配律：λ(+)=λ+λ ③

结合律证明：

如果λ=0，μ=0， =至少有一个成立，则①式成立

如果λ0，μ0， 有：|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ|||

|(λμ) |=|λμ|| |=|λ||μ|||

∴|λ(μ)|=|(λμ) |

如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向；

如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向

从而λ(μ)=(λμ)

第一分配律证明：

如果λ=0，μ=0， =至少有一个成立，则②式显然成立

如果λ0，μ0，

当λ、μ同号时，则λ和μ同向，

∴|(λ+μ) |=|λ+μ|||=(|λ|+|μ|)||

|λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=(|λ|+|μ|)||

∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与同向

即 |(λ+μ) |=|λ+μ|

当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ同向；当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μ同向，且|(λ+μ) |=|λ+μ|

∴②式成立

第二分配律证明：

如果=， =中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立

当， 且λ0，λ1时

（1）当λ>0且λ1时在平面内任取一点O，

作 λ λ

则+ λ+λ

由作法知 ，∥有OAB=OA1B1 ||=λ||

∴λ ∴△OAB∽△OA1B1

∴λ AOB= A1OB1

因此，O，B，B1在同一直线上，||=|λ| 与λ方向也相同

∴λ(+)=λ+λ

当λ<0时 可类似证明：λ(+)=λ+λ

∴ ③式成立

注：加框部分为选讲部分

5．例子

1、 设x是未知向量，解方程

5(x+a)+3(x-b)=0

2、凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证＝(+).

解法一：构造三角形，使EF作为三角形中位线，借助于三角形中位线定理解决.

过点C在平面内作＝，则四边形ABGC是平行四边形，故F为AG中点.

∴EF是△ADG的中位线，∴EF =, ∴＝.

而＝＋＝＋，

∴＝（＋）.

解法二：创造相同起点，以建立向量间关系

如图，连EB，EC，则有＝＋，

＝＋，

又∵E是AD之中点，∴有＋＝0.

即有＋＝＋；

以与为邻边作平行四边形EBGC，则由F是BC之中点，可得F也是EG之中点.

∴＝＝（＋）＝（＋）

小结：实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义；实数与向量的积的运算律

课堂练习：第95页练习A、B

课后作业：第100页 4、5，第101页4

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第二章 平面向量

2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算

教学目标：

理解向量共线的条件与轴上向量坐标运算

教学重点：向量共线的条件与轴上向量坐标运算

教学过程

一、复习引入：

1. 向量的表示方法

2. 向量的加法，减法及运算律

3．实数与向量的乘法

二、讲解新课：

1． 若有向量()、，实数λ，使=λ 则由实数与向量积的定义知：与为共线向量

若与共线()且||：||=μ，则当与同向时=μ, 当与反向时=μ

从而得：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ

使=λ

2.若存在两个不全为0的实数使得，那么与为共线向量，

零向量与任意向量共线

3.与向量同方向的的单位向量为

4．数轴上的基向量的概念

5、轴上向量的坐标：轴上向量，一定存在一个实数x，使得，那么x称为向量的坐标

6、设点A、B是数轴上的两点其坐标分别为和，那么向量的坐标为

由此得两点A、B之间的距离为

7．例子

例1 三角形两边中点的连线平行与第三边并且等与第三边的一半。

已知：如图3-1，中，D，E分别是边AB，AC的中点。

求证：且。

证明：因为D，E分别是边AB，AC的中点，

所以，。

所以，

再由D，B不共点，故且。

例2 如图3-2，平行四边形OACB中，，OD与BA相交于E。

求证：。

证明：设E’是线段BA上的一点，且，只要证E，E’重合即可。设，，则，。

，，，

，

，

，

O，E’，D三点共线，

。

小结：本节课学习了向量共线的条件与轴上向量坐标运算，应注意向量共线，并不是说表示向量的有向线段在一条直线上.

课堂练习：第99页练习A、B

课后作业：第100页8，第101页5、6

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第二章 平面向量

2.2.1平面向量基本定理

教学目标：

(1)了解平面向量基本定理的证明

(2)学会用平面内两不共线向量表示平面内任一向量

教学重点：掌握用平面内两不共线向量表示平面内任一向量的方法

教学过程

一、复习引入：

由平面向量的几何表示可知，平面向量、的关系：①共线②不共线。若=，则与共线。若≠，则与共线有且只有一个实数， =.

二、讲解新课：

1、、不共线，、中能否有零向量？与、的关系可能有几种情况？

分析：、不共线，则且

(1)与共线，则有且只有一个1，使=1、

(2)与共线，则有且只有一个2， =2

(3)与、都共线，则=

(4)与、都不共线，能否用、表示呢？

2、平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被，，唯一确定的数量

4．例子

例1：如图、不共线，，用、表示

例2：如图△OAB，其中=、=，M、N分别是边、上的点，且，，设相交于P，用向量表示

例3在△ABC中， =, = AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量

例4设, 是两个不共线向量，已知=2+k, =+3, =2, 若三点A, B, D共线，求k的值

例5．如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD且AB=2CD，M, N分别是DC, AB中点，设=, =，试以,为基底表示, ,

小结：平面内两不共线向量表示平面内任一向量的方法

课堂练习：第104页练习A、B

课后作业：第112页A 1

第二章 平面向量

2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算

教学目标：

(1) 理解平面向量的坐标的概念；

(2) 掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线

教学重点：平面向量的坐标运算

教学过程

一、复习引入：

平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2

二、讲解新课：

1、平面向量的坐标表示

如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得

a=xi+yj…………

我们把叫做向量a的（直角）坐标，记作

a=(x,y)…………

其中叫做a在轴上的坐标，叫做a在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示

与a相等的向量的坐标也为

特别地，i=(1,0)，j=(0,1)，0=(0,0)

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定

设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示

2、平面向量的坐标运算

（1） 若，，则，

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差

设基底为、，则

即，同理可得

（2） 若，，则

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标

==( x2, y2) (x1,y1)= (x2 x1, y2 y1)

（3）若和实数，则

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标

设基底为、，则，即

3．例子

例1已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点

例2已知三个力(3, 4), (2, 5), (x, y)的合力++=

求的坐标

见课本第108页例子

小结：平面向量的坐标运算

课堂练习：第109页练习A、B

课后作业：第112页A 2、3、4、5、6

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第二章 平面向量

2.3.1用平面向量坐标表示向量共线条件

教学目标：

理解用坐标表示的平面向量共线的条件

教学重点：理解用坐标表示的平面向量共线的条件

教学过程

一、复习引入：

1、 平面向量基本定理

2、 平面向量的坐标

3、 向量共线

二、讲解新课：

1、 设，，那么∥的充要条件是。

证明：由基本定理可知，∥的充要条件是存在一实数，使

∴，即

消去后得

故知命题成立。

2、[定理]∥的充要条件是。

3、两向量平行的条件是：对应坐标成比例

4、 例子

例1已知，，且∥，求

例2已知，，，求证、、三点共线

小结：平面向量的坐标运算

课堂练习：第111页练习A、B

课后作业：第112页B 3、4、5

普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B]

第二章 平面向量

2.3.1向量数量积的物理背景与定义

教学目标：

掌握平面向量的数量积的定义及其物理意义

教学重点：平面向量的数量积的定义

教学过程

一、复习引入：

1． 向量共线定理

2．平面向量基本定理：

3．平面向量的坐标表示

4．平面向量的坐标运算

二、讲解新课：

1、力做的功：W = |F||s|cos，是F与s的夹角

2、两个非零向量夹角的概念

已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角

说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；

（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；

（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；

（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤180

3、向量在轴上的正射影：

作图

定义：|b|cos叫做向量b在a所在轴上的正射影

正射影也是一个数量，不是向量；当为锐角时正射影为正值；当为钝角时正射影为负值；当为直角时正射影为0；当 = 0时正射影为|b|；当 = 180时正射影为|b|

4、平面向量数量积（内积）的定义：

已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作ab，即有ab = |a||b|cos，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0

注意：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定

（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分符号“· ”在向量运算中既不能省略，也不能用“×”代替

（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0因为其中cos有可能为0

（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c但是ab = bc a = c

如右图：ab = |a||b|cos = |b||OA|，bc = |b||c|cos = |b||OA|

ab = bc 但a c

(5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc)

显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线

5、两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量

1ea = ae =|a|cos

2ab ab = 0

3 aa = |a|2或

4cos =

5|ab| ≤ |a||b|

6、例子

例1 判断正误，并简要说明理由

1 ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－＝；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２

例2 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ

小结：平面向量的数量积的定义及其物理意义

课堂练习：第116页练习A、B

课后作业：第123页A 1、2、3

第二章 平面向量

2.3.2向量数量积的运算律

教学目标：

1.掌握平面向量数量积运算规律；

2掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题

教学重点：平面向量数量积的运算规律

教学过程

一、复习引入：

1．两个非零向量夹角的概念

2．平面向量数量积（内积）的定义

3．两个向量的数量积的性质：

二、讲解新课：

平面向量数量积的运算律

1．交换律：a b = b a

证：设a，b夹角为，则a b = |a||b|cos，b a = |b||a|cos

∴a b = b a

2．数乘结合律：(a)b = (ab) = a(b)

证：若> 0，(a)b =|a||b|cos， (ab) =|a||b|cos，a(b) =|a||b|cos，

若< 0，(a)b =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos，

(ab) =|a||b|cos，

a(b) =|a||b|cos() = |a||b|(cos) =|a||b|cos

3．分配律：(a + b)c = ac + bc

在平面内取一点O，作= a, = b， = c，

∵a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，

即 |a + b| cos = |a| cos1 + |b| cos2

∴| c | |a + b| cos =|c| |a| cos1 + |c| |b| cos2

∴c(a + b) = ca + cb 即：(a + b)c = ac + bc

说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）

（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ

（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，

（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ

(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２

4、例子

例1 已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a 5b垂直，a 4b与7a 2b垂直，求a与b的夹角

例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和

例3求证：菱形对角线互相垂直

小结：平面向量数量积运算规律

课堂练习：第119页练习A、B

课后作业：略

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第二章 平面向量

2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式

教学目标：

⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示

⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式

教学重点：向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式

教学过程

一、复习引入：

1．平面向量数量积（内积）的定义

2．向量的数量积的几何意义

3．两个向量的数量积的性质

4． 平面向量数量积的运算律

二、讲解新课：

1、平面两向量数量积的坐标表示

已知两个非零向量，，试用和的坐标表示

设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么

，

所以

又，，

所以

这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和

即

2、向量垂直的判定

设，，则

3. 向量的长度、距离和夹角公式

（1）设，则或(长度公式)

（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(距离公式)

(3) cos =（）(夹角公式)

4、例子

例1 设= (5, 7)， = (6, 4)，求

例2 已知(1, 2)， (2, 3)， (2, 5)，求证：△ABC是直角三角形

例3 已知= (3, 1)， = (1, 2)，求满足 = 9与 = 4的向量

例4 已知＝（１，），＝（＋１，－１），则与的夹角是多少?

例5 在△ABC中， =(2, 3)， =(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值

小结：向量垂直的坐标表示的充要条件，及向量的长度、距离和夹角公式

课堂练习：第122页练习A、B

课后作业：第123页A 4、5、6

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第二章 平面向量

2.4.1向量在几何中的应用

教学目标：

掌握向量的应用

教学重点：

掌握向量的应用

教学过程

除课本介绍的例子外可补充：

例1、 求证：直径所对的圆周角为直角。

例2、 用向量证明三角形的三条中线共点。

3.求证△ABC的三条高相交于一点。

证法1、设△ABC的AB、AC边高分别为CF、BE，它们交于点H，连接AH（如图3）

为了培养多向思维，本题还可有如下证法。

小结：略

课堂练习：第128页练习A、B

课后作业：第131页A1、2、3、4

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第二章 平面向量

2.4.2向量在物理中的应用

教学目标：

运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算，并在这个过程中培养学生探究问题和解决问题的能力

教学重点：

运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算

教学过程

除课本提供的材料外可补充：

1两根等长的绳子挂一个物体,绳子受到的拉力大小与两绳子间的夹角的关系

分析：①作图引导学生进行受力分析（注意分析对象）；

②引导学生由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识，得出：

③讨论：

当逐渐增大时，的大小怎样变化？为什么？

当为何值时，最小，最小值是多少？

当为何值时，？

如果，在什么范围时，绳子不会断？

请同学们自行设定与的大小，研究与的关系？

利用结论解释教材上给出的两个物理现象

作出简单的受力分析图，启发学生将物理现象转化成模型

2 速度与分解问题

一条河的两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处船航行的速度，水流速度那么，与的夹角(精确到)多大时,船才能垂直到达对岸B处? 船行驶多少时间(精确到01min)?

分析：速度是向量

1启发学生思考：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶就行了由于水的流动，船被冲向下游，因而水速的方向怎样的呢？

2再启发学生思考：此问题要求船实际的行进方向是垂直指向对岸的，这是合速度的方向还是的方向？为什么？

3启发学生画出和的方向，思考一下向量-的方向如何确定？

4启发学生利用三角形法则作出-（即），再把的起点平移到，也可直接用平行四边形法则作出

5让学生完成的计算（注意和的方向垂直）

即,

=,

6让学生完成当船要到达图中的和，且分别为时，对应的分别是多少？

(1)求: 或

(2)求: 或

6组织学生讨论思考

，是否船垂直到达对岸所用时间最少？为什么？

小结：运用向量的有关知识对物理中的问题进行相关分析和计算

课堂练习：第121页练习A、B

课后作业：第131页A 5

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第三章 三角恒等变换

3.1.1两角和与差的余弦

（第一课时）

教学目标：

能推导出两角和与差的余弦公式，会初步运用解决具体问题

教学重点：

导出两角和与差的余弦公式

教学过程

1． 复习引入

（1） 向量的运算

（2） 平面上两点间的距离

2． 讲解新课

1、利用向量方法证明公式：

证明:如图在单位圆中做向量，与x轴正向的夹角分别是α、β，则点A的坐标是，点B的坐标是，则，又，则等式成立。

2、特征

①熟悉公式的结构和特点；

②此公式对任意、都适用

③公式记号

3、以代得：

4、以上公式可用口诀：

余余正正符号异

5、可补充：

写出4个点的坐标

，

，，

=

=

由=导出公式

展开并整理得

所以

6、 例子

例1 计算① cos105 ②cos15 ③coscossinsin

例2已知sin=，cos=求cos()的值

例3已知cos(2α-β)=-,sin (α-2β)=,且<α<,0<β<,

求cos(α+β)的值

小结：推导出两角和与差的余弦公式，会初步运用解决具体问题

3.1.1两角和与差的余弦

（第二课时）

教学目标：

通过练习加深对两角和与差的余弦公式的理解

教学重点：

通过练习加深对两角和与差的余弦公式的理解

教学过程

1．两角和与差的余弦公式:

2．求cos75的值

解：cos75=cos(45+30)=cos45cos30sin45sin30

=

3．计算：cos65cos115cos25sin115

解：原式= cos65cos115sin65sin115=cos(65+115)=cos180=1

4 计算：cos70cos20+sin110sin20

原式=cos70cos20+sin70sin20=cos(70+20)=0

5．已知锐角,满足cos= cos(+)=求cos

解：∵cos= ∴sin=

又∵cos(+)=<0

∴+为钝角

∴sin(+)=

∴cos=cos[(+)]=cos(+)cos+sin(+)sin

= （角变换技巧）

6．已知cos()=,求(sin+sin)2+(cos+cos)2的值

解: (sin+sin)2+(cos+cos)2=2+2 cos()=2+=

7．sinsin=，coscos=，(0,),(0,),求cos()的值

解: ∵sinsin=，coscos=，(0,),(0,),

∴(sinsin)2=()2，(coscos)2=()2

∴2-2 cos()= ∴cos()=

小结：通过练习加深对两角和与差的余弦公式的理解

普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B]

第三章 三角恒等变换

3.1.2两角和与差的正弦

（第一课时）

教学目标：

能由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形

教学重点：

由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式

教学过程

一、 习引入

两角和与差的余弦公式:

二、讲解新课

1 推导sin(+)=cos[(+)]=cos[()]

=cos()cos+sin()sin

=sincos+cossin

即： （S+）

以代得： （S）

2公式的分析，结构解剖：正余余正符号同

3．例子

例1不查表，求下列各式的值：

1 sin75 2 sin13cos17+cos13sin17

例2求证：cos+sin=2sin(+)

例3已知sin(+)=,sin()=求的值

小结：由两角和的余弦公式推导出两角和的正弦公式，并进而推得两角和的正弦公式，并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形

课堂练习：第147页练习A、B

3.1.3两角和与差的正弦

（第二课时）

教学目标：

通过练习掌握两角和的正弦公式的应用

教学重点：

通过练习掌握两角和的正弦公式的应用

教学过程

1 在△ABC中，已知cosA =，cosB =，则cosC的值为（　A　）

（A） （B） （C） （D）

解：因为C = (A + B)， 所以cosC = cos(A + B)

又因为A,B(0, ), 所以sinA =, sinB =,

所以cosC = cos(A + B) = sinAsinB cosAcosB =

2已知，，，，

求sin( + )的值

解：∵ ∴

又 ∴

∵ ∴

又 ∴

∴sin( + ) = sin[ + ( + )] =

3已知sin + sin =，求cos + cos的范围

解：设cos + cos = t，

则(sin + sin)2 + (cos + cos)2= + t2

∴2 + 2cos( ) = + t2 即 cos( ) = t2

又∵1≤cos( )≤1 ∴1≤t2 ≤1

∴≤t≤

4已知sin(+) =，sin() =，求的值

解：由题设：

从而：

或设：x = ∵

∴

∴x = 即=

5．求证：cosx+sinx=cos(x)