人教版高二（上）数学教案（全册）

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第六章 不等式

第一教时

教材：不等式、不等式的综合性质

目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质ⅠⅡ。

过程：

一、引入新课

1．世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。

2．过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题

二、几个与不等式有关的名称 （例略）

1．“同向不等式与异向不等式”

2．“绝对不等式与矛盾不等式”

三、不等式的一个等价关系（充要条件）

1．从实数与数轴上的点一一对应谈起

2．应用：例一 比较与的大小

解：（取差）

∴<

例二 已知0, 比较与的大小

解：（取差）

∵ ∴ 从而>

小结：步骤：作差—变形—判断—结论

例三 比较大小1．和

解：∵

∵

∴<

2．和

解：（取差） ∵

∴当时>；当时=；当时<

3．设且，比较与的大小

解： ∴

当时≤；当时≥

四、不等式的性质

1．性质1：如果，那么；如果，那么（对称性）

证：∵ ∴由正数的相反数是负数

2．性质2：如果， 那么（传递性）

证：∵， ∴，

∵两个正数的和仍是正数 ∴

∴

由对称性、性质2可以表示为如果且那么

五、小结：1．不等式的概念 2．一个充要条件

3．性质1、2

六、作业：P5练习 P8 习题6.1 1—3

补充题：1．若，比较与的大小

解： =……= ∴≥

2．比较2sin与sin2的大小(0<<2)

略解：2sinsin2=2sin(1cos)

当(0,)时2sin(1cos)≥0 2sin≥sin2

当(,2)时2sin(1cos)<0 2sin

3．设且比较与的大小

解：

当时 ∴>

当时 ∴>

∴总有>

第二教时

教材：不等式基本性质（续完）

目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。

过程：

一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质1、2

二、1．性质3：如果，那么 （加法单调性）反之亦然

证：∵ ∴

从而可得移项法则：

推论：如果且，那么 （相加法则）

证：

推论：如果且，那么 （相减法则）

证：∵ ∴

或证：

上式>0 ………

2．性质4：如果且, 那么；

如果且那么（乘法单调性）

证： ∵ ∴

根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：

时即：

时即：

推论1 如果且，那么（相乘法则）

证：

推论1’（补充）如果且，那么（相除法则）

证：∵ ∴

推论2 如果, 那么

3．性质5：如果，那么

证：（反证法）假设

则：若这都与矛盾 ∴

三、小结：五个性质及其推论

口答P8 练习1、2 习题6.1 4

四、作业 P8 练习3 习题6.1 5、6

五、供选用的例题（或作业）

1．已知，，，求证：

证：

2．若，求不等式同时成立的条件

解：

3．设， 求证

证：∵ ∴

又∵ ∴>0 ∴

∵ ∴

∴

4． 比较与的大小

解： 当时∵即

∴ ∴<

当时∵即

∴ ∴>

5．若 求证：

解： ∵ ∴ ∴

∵ ∴ ∴

6．若 求证：

证：∵ >1 ∴

又∵ ∴

∴ ∴原式成立

第三教时

教材：算术平均数与几何平均数

目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。

过程：

一、 定理：如果，那么（当且仅当时取“=”）

证明：

1．指出定理适用范围：

2．强调取“=”的条件

二、定理：如果是正数，那么（当且仅当时取“=”）

证明：∵ ∴

即： 当且仅当时

注意：1．这个定理适用的范围：

2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

三、推广：

定理：如果，那么

（当且仅当时取“=”）

证明：∵

∵ ∴上式≥0 从而

指出：这里 ∵就不能保证

推论：如果，那么

（当且仅当时取“=”）

证明：

四、关于“平均数”的概念

1．如果则：

叫做这n个正数的算术平均数

叫做这n个正数的几何平均数

2．点题：算术平均数与几何平均数

3．基本不等式： ≥

这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）

语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

4．的几何解释：

以为直径作圆，在直径AB上取一点C， 过C作弦DD’AB 则

从而

而半径

五、例一 已知为两两不相等的实数，求证：

证：∵

以上三式相加：

∴

六、小结：算术平均数、几何平均数的概念

基本不等式（即平均不等式）

七、作业：P11-12 练习1、2 P12 习题5.2 1--3

补充：1．已知，分别求的范围

(8,11) (3,6) (2,4)

2．试比较 与（作差>）

3．求证：

证：

三式相加化简即得

第四教时

教材：极值定理

目的：要求学生在掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理，并学会初步应用。

过程：

一、复习：算术平均数与几何平均数定义，平均不等式

二、 若，设

求证：

加权平均；算术平均；几何平均；调和平均

证：∵

∴即：（俗称幂平均不等式）

由平均不等式

即：

综上所述：

例一、若求证

证：由幂平均不等式：

三、 极值定理

已知都是正数，求证：

1 如果积是定值，那么当时和有最小值

2 如果和是定值，那么当时积有最大值

证：∵ ∴

1当 (定值)时， ∴

∵上式当时取“=” ∴当时有

2当(定值)时， ∴

∵上式当时取“=” ∴当时有

注意强调：1最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）

2用极值定理求最值的三个必要条件：

一“正”、二“定”、三“相等”

四、 例题

1．证明下列各题：

⑴

证：∵∴

于是

⑵若上题改成，结果将如何？

解：∵

于是

从而

⑶若 则

解：若则显然有

若异号或一个为0则 ∴

2．①求函数的最大值

②求函数的最大值

解：①∵ ∴ ∴当即时

即时

②∵ ∴

∴

∴当时

3．若，则为何值时有最小值，最小值为几？

解：∵ ∴

∴=

当且仅当即时

五、 小结：1．四大平均值之间的关系及其证明

2．极值定理及三要素

六、 作业：P12 练习3、4 习题6.2 4、5、6

补充：下列函数中取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？

1 时

2

3时

第五教时

教材：极值定理的应用

目的：要求学生更熟悉基本不等式和极值定理，从而更熟练地处理一些最值问题。

过程：

一、 复习：基本不等式、极值定理

二、 例题：1．求函数的最大值，下列解法是否正确？为什么？

解一：

∴

解二：当即时

答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在使得；解二错在不是定值（常数）

正确的解法是：

当且仅当即时

2．若，求的最值

解：

∵ ∴

从而

即

3．设且，求的最大值

解：∵ ∴

又

∴

即

4．已知且，求的最小值

解：

当且仅当即时

三、关于应用题

1．P11例（即本章开头提出的问题）（略）

2．将一块边长为的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？

解：设剪去的小正方形的边长为

则其容积为

当且仅当即时取“=”

即当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的容积为

四、 作业：P12 练习4 习题6.2 7

补充：

1．求下列函数的最值：

1 (min=6)

2 ()

2．1时求的最小值，的最小值

2设，求的最大值(5)

3若, 求的最大值

4若且，求的最小值

3．若，求证：的最小值为3

4．制作一个容积为的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和

高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）

第六教时

教材：不等式证明一（比较法）

目的：以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。

过程：

一、 复习：

1．不等式的一个等价命题

2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论

二、作差法：（P13—14）

1． 求证：x2 + 3 > 3x

证：∵(x2 + 3) 3x =

∴x2 + 3 > 3x

2． 已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：

证：

∵a,b,m都是正数，并且a<b，∴b + m > 0 , b a > 0

∴ 即：

变式：若a > b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？

3． 已知a, b都是正数，并且a b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

证：(a5 + b5 ) (a2b3 + a3b2) = ( a5 a3b2) + (b5 a2b3 )

= a3 (a2 b2 ) b3 (a2 b2) = (a2 b2 ) (a3 b3)

= (a + b)(a b)2(a2 + ab + b2)

∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0

又∵a b，∴(a b)2 > 0 ∴(a + b)(a b)2(a2 + ab + b2) > 0

即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2

4． 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m n，问：甲乙两人谁先到达指定地点？

解：设从出发地到指定地点的路程为S，

甲乙两人走完全程所需时间分别是t1, t2，

则： 可得：

∴

∵S, m, n都是正数，且m n，∴t1 t2 < 0 即：t1 < t2

从而：甲先到到达指定地点。

变式：若m = n，结果会怎样？

三、作商法

5． 设a, b R+，求证：

证：作商：

当a = b时，

当a > b > 0时，

当b > a > 0时，

∴（其余部分布置作业）

作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。

四、小结：作差、作商

五、作业： P15 练习

P18 习题6.3 1—4

第七教时

教材：不等式证明二（比较法、综合法）

目的：加强比商法的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。

过程：

一、比较法：

a) 复习：比较法，依据、步骤

比商法，依据、步骤、适用题型

b) 例一、证明：在是增函数。

证：设2≤x1<x2, 则

∵x2 x1 > 0, x1 + x2 4 > 0 ∴

又∵y1 > 0， ∴y1 > y2 ∴在是增函数

二、 综合法：

定义：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。

i. 已知a, b, c是不全相等的正数，

求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc

证：∵b2 + c2 ≥ 2bc , a > 0 , ∴a(b2 + c2) ≥ 2abc

同理：b(c2 + a2) ≥ 2abc , c(a2 + b2) ≥ 2abc

∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) ≥ 6abc

当且仅当b=c,c=a,a=b时取等号，而a, b, c是不全相等的正数

∴a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc

ii. 设a, b, c R，

1求证：

2求证：

3若a + b = 1, 求证：

证：1∵ ∴

∴

2同理：，

三式相加：

3由幂平均不等式：

∴

iii. a , b, cR, 求证：1

2

3

证：1法一：, , 两式相乘即得。

法二：左边

≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9

2∵

两式相乘即得

3由上题：

∴

即：

三、小结：综合法

四、作业： P15—16 练习 1，2

P18 习题6.3 1，2，3

补充：

1． 已知a, bR+且a b，求证：（取差）

2． 设R，x, yR，求证：（取商）

3． 已知a, bR+，求证：

证：∵a, bR+ ∴ ∴

∴

∴

∴

∴

4． 设a>0, b>0，且a + b = 1，求证：

证：∵ ∴ ∴

∴

第八教时

教材：不等式证明三（分析法）

目的：要求学生学会用分析法证明不等式。

过程：

一、 介绍“分析法”：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。

二、 例一、求证：

证： ∵ 综合法：

只需证明： ∵21 < 25

展开得： ∴

即： ∴

∴ ∴

即： 21 < 25（显然成立） ∴

∴ ∴

例二、设x > 0，y > 0，证明不等式：

证一：（分析法）所证不等式即：

即：

即：

只需证：

∵成立

∴

证二：（综合法）∵

∵x > 0，y > 0， ∴

例三、已知：a + b + c = 0，求证：ab + bc + ca ≤ 0

证一：（综合法）∵a + b + c = 0 ∴(a + b + c)2 = 0

展开得：

∴ab + bc + ca ≤ 0

证二：（分析法）要证ab + bc + ca ≤ 0 ∵a + b + c = 0

故只需证 ab + bc + ca ≤ (a + b + c)2

即证：

即： （显然）

∴原式成立

证三：∵a + b + c = 0 ∴ c = a + b

∴ab + bc + ca = ab + (a + b)c = ab (a + b)2 = a2 b2 ab

=

例四、（课本例）证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。

证：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为，截面积为，

周长为l的正方形边长为，截面积为

问题只需证： >

即证： >

两边同乘，得：

因此只需证：4 > （显然成立）

∴ > 也可用比较法（取商）证，也不困难。

三、 作业： P18 练习 1—3 及 习题6.3 余下部分

补充作业：

1． 已知0 < < ，证明：

略证：只需证： ∵0 < < ∴sin > 0

故只需证：

即证： ∵1 + cos > 0

只需证：

即只需证：

即： （成立）

2． 已知a > b > 0，为锐角，求证：

略证：只需证：

即：（成立）

3． 设a, b, c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：

略证：正弦、余弦定理代入得：

即证：

即：

即证：（成立）

第九教时

教材：不等式证明四（换元法）

目的：增强学生“换元”思想，能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证明问题。

过程：

一、 提出课题：（换元法）

二、 三角换元：

例一、求证：

证一：（综合法）

∵

即： ∴

证二：（换元法） ∵ ∴令 x = cos , [0, ]

则

∵ ∴

例二、已知x > 0 , y > 0，2x + y = 1，求证：

证一： 即：

证二：由x > 0 , y > 0，2x + y = 1，可设

则

例三：若，求证：

证：设，

则

例四：若x > 1，y > 1，求证：

证：设

则

例五：已知：a > 1, b > 0 , a b = 1，求证：

证：∵a > 1, b > 0 , a b = 1 ∴不妨设

则

∵, ∴0 < sin < 1 ∴

小结：若0≤x≤1，则可令x = sin ()或x = sin2 ()。

若，则可令x = cos , y = sin ()。

若，则可令x = sec, y = tan ()。

若x≥1，则可令x = sec ()。

若xR，则可令x = tan ()。

三、 代数换元：

例六：证明：若a > 0，则

证：设

则

（ 当a = 1时取“=” ）

∴

即 ∴原式成立

四、 小结：

还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法，有兴趣的课后还可进一步学习。

五、 作业：

1． 若，求证：

2． 若|a| < 1，|b| <1，则

3． 若|x|≤1，求证：

4． 若a > 1, b > 0 , a b = 1，求证：

5． 求证：

6． 已知|a|≤1，|b|≤1，求证：

第十教时

教材：不等式证明五（放缩法、反证法）

目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。

过程：

一、 简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法

提出课题：放缩法与反证法

二、 放缩法：

例一、若a, b, c, dR+，求证：

证：记m =

∵a, b, c, dR+

∴

∴1 < m < 2 即原式成立

例二、当 n > 2 时，求证：

证：∵n > 2 ∴

∴

∴n > 2时,

例三、求证：

证：

∴

三、 反证法：

例四、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 a)b, (1 b)c, (1 c)a,不可能同时大于

证：设(1 a)b >, (1 b)c >, (1 c)a >,

则三式相乘：ab < (1 a)b•(1 b)c•(1 c)a < ①

又∵0 < a, b, c < 1 ∴

同理：,

以上三式相乘： (1 a)a•(1 b)b•(1 c)c≤ 与①矛盾

∴原式成立

例五、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0

证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0

又由a + b + c > 0, 则b + c = a > 0

∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾

又：若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0

同理可证：b > 0, c > 0

四、 作业：证明下列不等式：

1． 设x > 0, y > 0, ,，求证：a < b

放缩法：

2． lg9•lg11 < 1

3．

4． 若a > b > c, 则

5．

左边

6．

7．已知a, b, c > 0, 且a2 + b2 = c2，求证：an + bn < cn (n≥3, nR*)

∵，又a, b, c > 0, ∴

∴

8．设0 < a, b, c < 2，求证：(2 a)c, (2 b)a, (2 c)b,不可能同时大于1

仿例四

9．若x, y > 0，且x + y >2，则和中至少有一个小于2

反设≥2，≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾 第十一教时

教材：不等式证明六（构造法及其它方法）

目的：要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式。

过程：

一、 构造法：

1．构造函数法

例一、已知x > 0，求证：

证：构造函数则， 设2≤<

由

显然 ∵2≤< ∴ > 0, 1 > 0, > 0 ∴上式 > 0

∴f (x)在上单调递增，∴左边

例二、求证：

证：设 则

用定义法可证：f (t)在上单调递增

令：3≤t1<t2 则

∴

2．构造方程法：

例三、已知实数a, b, c，满足a + b + c = 0和abc = 2，求证：a, b, c中至少有一个不小于2。

证：由题设：显然a, b, c中必有一个正数，不妨设a > 0，

则 即b, c是二次方程的两个实根。

∴ 即：a≥2

例四、求证：

证：设则：(y 1)tan2 + (y + 1)tan + (y 1) = 0

当 y = 1时，命题显然成立

当 y 1时，△= (y + 1)2 4(y 1)2 = (3y 1)(y 3)≥0

∴

综上所述，原式成立。（此法也称判别式法）

3．构造图形法：

例五、已知0 < a < 1，0 < b < 1，求证：

证：构造单位正方形，O是正方形内一点

O到AD, AB的距离为a, b，

则|AO| + |BO| + |CO| + |DO|≥|AC| + |BD|

其中，

又：

∴

5． 作业：证明下列不等式：

令，则 (y 1)x2 + (y + 1)x + (y 1) = 0

用△法，分情况讨论

6． 已知关于x的不等式(a2 1)x2 (a 1)x 1 < 0 (aR)，对任意实数x恒成立，求证：。

分a2 1 = 0和讨论

7． 若x > 0, y > 0, x + y = 1，则

左边 令 t = xy，则

在上单调递减 ∴

8． 若，且a2 < a b，则

令，又，在上单调递增

∴

9． 记，a > b > 0，则| f (a) f (b) | < | a b|

构造矩形ABCD, F在CD上，

使|AB| = a, |DF| = b, |AD| = 1,

则|AC| |AF| < |CF|

10． 若x, y, z > 0，则

作AOB = BOC = COA = 120, 设|OA| = x, |OB| = y, |OC| = z

第十二教时

教材：不等式证明综合练习

目的：系统小结不等式证明的几种常用方法，渗透“化归”“类比”“换元”等数学思想。

过程：

四、 简述不等式证明的几种常用方法

比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造

五、 例一、已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较的大小。

解一：

∵0 < 1 x2 < 1, ∴

∴

解二：

∵0 < 1 x2 < 1, 1 + x > 1, ∴

∴ ∴

解三：∵0 < x < 1, ∴0 < 1 x < 1, 1 < 1 + x < 2,

∴

∴左 右 =

∵0 < 1 x2 < 1, 且0 < a < 1 ∴

∴

变题：若将a的取值范围改为a > 0且a 1，其余条件不变。

例二、已知x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac + bd

证一：（分析法）∵a, b, c, d, x, y都是正数

∴要证：xy≥ac + bd

只需证：(xy)2≥(ac + bd)2

即：(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd

展开得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd

即：a2d2 + b2c2≥2abcd 由基本不等式，显然成立

∴xy≥ac + bd

证二：（综合法）xy =

≥

证三：（三角代换法）

∵x2 = a2 + b2，∴不妨设a = xsin, b = xcos

y2 = c2 + d2 c = ysin, d = ycos

∴ac + bd = xysinsin + xycoscos = xycos( )≤xy

例三、已知x1, x2均为正数，求证：

证一：（分析法）由于不等式两边均为正数，平方后只须证：

即：

再平方：

化简整理得： （显然成立）

∴原式成立

证二：（反证法）假设

化简可得： （不可能）

∴原式成立

证三：（构造法）构造矩形ABCD，

使AB = CD = 1, BP = x1, PC = x2

当APB = DPC时，AP + PD为最短。

取BC中点M，有AMB = DMC, BM = MC =

∴ AP + PD ≥ AM + MD

即：

∴

六、 作业： 2000版 高二课课练 第6课

第十三教时

教材：复习一元一次不等式

目的：通过复习要求学生能熟练地解答一元一次和一元二次不等式，尤其是对含有参数的一元一次和一元二次不等式，能正确地对参数分区间讨论。

过程：

一、 提出课题：不等式的解法（复习）：一元一次与一元二次不等式

板演：1．解不等式：

2．解不等式组： （）

3．解不等式：

4．解不等式：

5．解不等式：

二、含有参数的不等式

例一、解关于x的不等式

解：将原不等式展开，整理得：

讨论：当时，

当时，若≥0时；若<0时

当时，

例二、解关于x的不等式

解：原不等式可以化为：

若即则或

若即则

若即则或

例三、关于x的不等式的解集为

求关于x的不等式的解集．

解：由题设且，

从而 可以变形为

即： ∴

例四、关于x的不等式对于恒成立，

求a的取值范围．s

解：当a>0时不合 a=0也不合

∴必有：

例五、若函数的定义域为R，求实数k的

取值范围

解：显然k=0时满足 而k<0时不满足

∴k的取值范围是[0,1]

三、 简单绝对不等式

例六、（课本6.4 例1）解不等式

解集为：

四、 小结

五、 作业：6.4 练习 1、2 P25 习题6.4 1

补充：1．解关于x的不等式：

1 2

2．不等式的解集为，求a, b ()

3．不等式对于恒成立，求a的取值 (a>4)

4．已知,且BA, 求p的取值范围 (p≥4)

5．已知当-1≤x≤1时y有正有负，求a的取值范围

第十四教时

教材：高次不等式与分式不等式

目的：要求学生能熟练地运用列表法和标根法解分式不等式和高次不等式。

过程：

一、 提出课题：分式不等式与高次不等式

二、 例一(P22-23) 解不等式

略解一（分析法）

或

∴

解二：（列表法）原不等式可化为列表（见P23略）

注意：按根的由小到大排列

解三：（标根法）作数轴；标根；画曲线，定解

小结：在某一区间内，一个式子是大于0（还是小于0）取决于这个式子的各因式在此区间内的符号；而区间的分界线就是各因式的根；上述的列表法和标根法，几乎可以使用在所有的有理分式与高次不等式，其中最值得推荐的是“标根法”

例二 解不等式

解：原不等式化为

∴原不等式的解为

例三 解不等式

解：∵恒成立

∴原不等式等价于 即-1<x<5

例四 解不等式

解：原不等式等价于且

∴原不等式的解为

若原题目改为呢？

例五 解不等式

解：原不等式等价于

即：

∴

三、 例六 解不等式

解：原不等式等价于

∴原不等式的解为：

例七 k为何值时，下式恒成立：

解：原不等式可化为：

而

∴原不等式等价于

由得1<k<3

四、 小结：列表法、标根法、分析法

五、 作业：P24 练习 P25 习题6.4 2、3、4

补充：

1．k为何值时，不等式对任意实数x恒成立

2．求不等式的解集

3．解不等式

4．求适合不等式的x的整数解 (x=2)

5．若不等式的解为,求的值

第十五教时

教材：无理不等式

目的：通过分析典型类型例题，讨论它们的解法，要求学生能正确地解答无理不等式。

过程：

一、 提出课题：无理不等式 — 关键是把它同解变形为有理不等式组

二、

例一 解不等式

解：∵根式有意义 ∴必须有：

又有 ∵ 原不等式可化为

两边平方得： 解之：

∴

三、

例二 解不等式

解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：

Ⅰ： Ⅱ：

解Ⅰ： 解Ⅱ：

∴原不等式的解集为

四、

例三 解不等式

解：原不等式等价于

特别提醒注意：取等号的情况

五、 例四 解不等式

解 ：要使不等式有意义必须：

原不等式可变形为 因为两边均为非负

∴ 即

∵x+1≥0 ∴不等式的解为2x+1≥0 即

例五 解不等式

解：要使不等式有意义必须：

在0≤x≤3内 0≤≤3 0≤≤3

∴>3 因为不等式两边均为非负

两边平方得： 即>x

因为两边非负，再次平方： 解之0<x<3

综合 得：原不等式的解集为0<x<3

例六 解不等式

解：定义域 x-1≥0 x≥1

原不等式可化为：

两边立方并整理得：

在此条件下两边再平方, 整理得：

解之并联系定义域得原不等式的解为

六、 小结

七、 作业：P24 练习 1、2、3 P25 习题 6.4 5

补充：解下列不等式

1．

2．

3． ()s

4．

5．

第十六教时（机动）

教材：指数不等式与对数不等式

目的：通过复习，要求学生能比较熟练地掌握指数不等式与对数不等式的解法。

过程：

一、 提出课题：指数不等式与对数不等式

强调：利用指数不等式与对数不等式的单调性解题

因此必须注意它们的“底”及它们的定义域

二、 例一 解不等式

解：原不等式可化为： ∵底数2>1

∴ 整理得：

解之，不等式的解集为{x|-3<x<2}

例二 解不等式

解：原不等式可化为：

即： 解之： 或

∴x>2或 ∴不等式的解集为{x|x>2或}

例三 解不等式

解：原不等式等价于 或

解之得：4<x≤5

∴原不等式的解集为{x|4<x≤5}

例四 解关于x的不等式：

解：原不等式可化为

当a>1时有

（其实中间一个不等式可省）

当0<a<1时有

∴当a>1时不等式的解集为；

当0<a<1时不等式的解集为

例五 解关于x 的不等式

解：原不等式等价于

Ⅰ： 或 Ⅱ：

解Ⅰ： 解Ⅱ： ∴

当a>1时有0<x<a 当0<a<1时有x>a

∴原不等式的解集为{x|0<x<a, a>1}或{x|x>a, 0<a<1}

例六 解不等式

解：两边取以a为底的对数：

当0<a<1时原不等式化为：

∴ ∴

当a>1时原不等式化为：

∴

∴ ∴

∴原不等式的解集为

或

三、 小结：注意底（单调性）和定义域s

四、 作业： 补充：解下列不等式

1．

(当a>1时 当0<a<1时)

2．

(-2<x<1或4<x<7)

3． (-1<x<3)

4．

5．当，求不等式： (a<x<1)

6．，求证：

7． (-1<x<0)

8．时解关于x的不等式

(；；)

第十七教时

教材：含绝对值的不等式

目的：要求学生掌握和、差的绝对值与绝对值的和、差的性质，并能用来证明有关含绝对值的不等式。

过程：一、复习：绝对值的定义，含有绝对值的不等式的解法

当a>0时，

二、定理：

证明：∵

①

又∵a=a+b-b |-b|=|b|

由①|a|=|a+b-b|≤|a+b|+|-b| 即|a|-|b|≤|a+b| ②

综合①②:

注意：1 左边可以“加强”同样成立，即

2 这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

3 a,b同号时右边取“=”，a,b异号时左边取“=”

推论1：≤

推论2：

证明：在定理中以-b代b得：

即：

三、应用举例

例一 至 例三见课本P26-27略

例四 设|a|<1, |b|<1 求证|a+b|+|a-b|<2

证明：当a+b与a-b同号时，|a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|<2

当a+b与a-b异号时，|a+b|+|a-b|=|a+b-(a-b)|=2|b|<2

∴|a+b|+|a-b|<2

例五 已知 当ab时 求证：

证一：

证二：（构造法）

如图：

由三角形两边之差小于第三边得：

四、小结：“三角不等式”

五、作业：P28 练习和习题6.5

第十八教时

教材：含参数的不等式的解法

目的：在解含有参数的不等式时，要求学生能根据参数的“位置”正确分组讨论，解不等式。

过程：一、课题：含有参数的不等式的解法

二、例一 解关于x的不等式

解：原不等式等价于 即：

∴

若a>1

若0<a<1

例二 解关于x的不等式

解：原不等式可化为

即： s

当m>1时 ∴

当m=1时 ∴xφ

当0<m<1时 ∴

当m≤0时 x<0

例三 解关于x的不等式

解：原不等式等价于

当即时

∴

当即时 ∴x6

当即时 xR

例四 解关于x的不等式

解：当即(0,)时 ∴x>2或x<1

当即=时 xφ

当即(,)时 ∴1<x<2

例五 满足的x的集合为A；满足的x

的集合为B 1 若AB 求a的取值范围 2 若AB 求a的取

值范围 3 若A∩B为仅含一个元素的集合，求a的值。

解：A=[1,2] B={x|(x-a)(x-1)≤0}

当a≤1时 B=[a,1] 当a>1时 B=[1,a]

当a>2时 AB

当1≤a≤2时 AB

当a≤1时 A∩B仅含一个元素

例六 方程有相异两实根，

求a的取值范围

解：原不等式可化为

令： 则

设 又∵a>0

三、小结

四、作业：

1．

2． 若

求a的取值范围 (a≥1)

3．

4．

5．当a在什么范围内方程：有两个

不同的负根

6．若方程的两根都对于2，求实数m的范围

第七章 直线和圆的方程

　直线的倾斜角和斜率

一、教学目标

(一)知识教学点

知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式．

(二)能力训练点

通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁移能力．

(三)学科渗透点

分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想．

二、教材分析

1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫．

2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由于以后还要专门研究曲线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了．

3．疑点：是否有继续研究直线方程的必要？

三、活动设计

启发、思考、问答、讨论、练习．

四、教学过程

(一)复习一次函数及其图象

已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上．

初中我们是这样解答的：

∵A(1，2)的坐标满足函数式，

∴点A在函数图象上．

∵B(2，1)的坐标不满足函数式，

∴点B不在函数图象上．

现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点，要给足够的时间让学生思考、体会．)

讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关系式的点都在函数的图象上；判断点B不在函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系．

(二)直线的方程

引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？

一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是．

一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对应．

以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解．这时，这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线．

上面的定义可简言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方程的解与直线上的点是一一对应的．

显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念．

(三)进一步研究直线方程的必要性

通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解，但有些问题还没有完全解决，如y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究．

(四)直线的倾斜角

一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的倾斜角，如图1-21中的α．特别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°．

直线倾斜角角的定义有下面三个要点：(1)以x轴正向作为参考方向(始边)；(2)直线向上的方向作为终边；(3)最小正角．

按照这个定义不难看出：直线与倾角是多对一的映射关系．

(五)直线的斜率

倾斜角不是90°的直线．它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k表示，即

直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率．

(六)过两点的直线的斜率公式

在坐标平面上，已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，由于两点可以确定一条直线，直线P1P2就是确定的．当x1≠x2时，直线的倾角不等于90°时，这条直线的斜率也是确定的．怎样用P2和P1的坐标来表示这条直线的斜率？

P2分别向x轴作垂线P1M1、P2M2，再作P1Q⊥P2M，垂足分别是M1、M2、Q．那么：

α=∠QP1P2(图1-22甲)或α=π-∠P2P1Q(图1-22乙)

综上所述，我们得到经过点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点的直线的斜率公式：

对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到．

(七)例题

例1　 如图1-23，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l2⊥l1，求l1、l2的斜率．

∵l2的倾斜角α2=90°+30°=120°，

本例题是用来复习巩固直线的倾斜角和斜率以及它们之间的关系的，可由学生课堂练习，学生演板．

例2　 求经过A(-2，0)、B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角．

∴tgα=-1．

∵0°≤α＜180°，

∴α=135°．

因此，这条直线的斜率是-1，倾斜角是135°．

讲此例题时，要进一步强调k与P1P2的顺序无关，直线的斜率和倾斜角可通过直线上的两点的坐标求得．

(八)课后小结

(1)直线的方程的倾斜角的概念．

(2)直线的倾斜角和斜率的概念．

(3)直线的斜率公式．

五、布置作业

1．(1.3练习第1题)在坐标平面上，画出下列方程的直线：

(1)y=x

(2)2x+3y=6

(3)2x+3y+6=0

(4)2x-3y+6=0

作图要点：利用两点确定一条直线，找出方程的两个特解，以这两个特解为坐标描点连线即可．

2．(1.4练习第2题)求经过下列每两个点的直线的斜率和倾斜角：

(1)C(10，8)，D(4，-4)；

解：(1)k=2　 α=arctg2．

(3)k=1，α=45°．

3．(1.4练习第3题)已知：a、b、c是两两不相等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角：(1)A(a，c)，(b，c)；(2)C(a，b)，D(a，c)；(3)P(b，b+c)，Q(a，c+a)．

解：(1)α=0°；(2)α=90°；(3)α=45°．

4．已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．

∵A、B、C三点在一条直线上，

∴kAB=kAC．

直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式

一、教学目标

(一)知识教学点

在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．

(二)能力训练点

通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．

(三)学科渗透点

通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．

二、教材分析

1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．

2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．

的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．

三、活动设计

分析、启发、诱导、讲练结合．

四、教学过程

(一)点斜式

已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？

设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得

注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．

重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．

这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．

当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．

当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．

(二)斜截式

已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．

这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：

y-b=k(x-0)

也就是

上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．

当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．

(三)两点式

已知直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程．

当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成

请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式．

对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样．

(四)截距式

例1　 已知直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直线l的方程．