中职数学教案

学习情境（项目）

第一章

集合与不等式

授课时数

2

周 次

班 级

内职三校生辅导班

时 间

年 月 日

节 次

- 节

教学内容

集合的概念及表示方法

教学方式

课堂讲授

【学情分析】

【本节教学内容目标要求】

教学内容：

1、 集合的概念 2、集合的表示方法 3、集合与集合的表示方法

目标要求：

知识目标：（1）理解集合、元素及其关系；

（2）掌握集合的列举法与描述法，会用适当的方法表示集合．

能力目标：通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.

教学重点：集合的表示法．

教学难点：集合表示法的选择与规范书写

【主要能力点与知识点应达到的目标水平】

在目标水平的具体要求上打√

【教学过程组织】

一、导入新课：

1、复习初中接触过的常见数集 、不等式组的解集、一元二次方程的根。

2、班级里共有25个人，这25个人组成一个集合

3、讲桌上有书、粉笔、粉笔盒组成一个集合

二、知识讲解

集合的概念：有某些确定的对象组成的整体叫做集合，简称集。组成集合的对象叫做集合的元素。集合一般有大写字母来表示，元素用小写字母来表示。

集合的性质：1、确定性

2、无序性

3、互异性

集合与元素的关系：

A是集合A的元素，就是a属于A记作a ∈ A.如果a不属于A就说a∈A

例1 下列对象能否组成集合

1、 所有小于10的自然数

2、某班个子高的同学

3、方程x2-1=0的所有解

4、不等式x-2＞0的所有解

数集的概念：由数组成的集合

解集：由方程的接组成的集合

特定的数集：

有限集：集合中含有限个元素

无限集：集合中含无限个元素

三、实训演练

2、下列各组对象能确定一个集合吗？

（1）所有很大的实数。 （不确定）

（2）好心的人。 （不确定）

（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）

四、集合的表示方法

1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。

例如，由方程x2-1=0的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}

注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}

（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素。

例2用列举法表示下列集合

（1） 大于-4且小于12的所有偶数组成的集合

（2） 方程x2-5x-6=0组成的集合

2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。

格式：{x∈A| P（x）}

含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。

例如，不等式x-2＞0的解集可以表示为：{x| x>2}

所有直角三角形的集合可以表示为：

注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。

如：{直角三角形}；{大于104的实数}

（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}

例3 用描述法表示下列集合

（1）不等式2x+1《=0的解集

（2）所有奇数组成的集合

（3）由第一象限内所有的点组成的集合

3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。

注：何时用列举法？何时用描述法？

（1） 有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。

如：集合{1000以内的质数}

（2） 有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。

如：集合；集合{1000以内的质数}

五、集合与集合的关系

1. 元素与集合之间的关系是什么？

元素与集合是从属关系，即对一个元素x是某集合A中的元素时，它们的关系为x∈A．若一个对象x不是某集合A中的元素时，它们的关系为xA．

2. 集合有哪些表示方法？

列举法，描述法，Venn图法．

数与数之间存在着大小关系，那么，两个集合之间是不是也存在着类似的关系呢？先看下面两个集合：A＝｛1，2，3｝，B＝｛1，2，3，4，5｝．它们之间有什么关系呢？

两集合相等：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，即AB，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A 中的元素，即B》A，那么就说集合A等于集合B，记作A＝B．

3. 子集、真子集的有关性质

由子集、真子集的定义可推知：

（1）对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC．

（2）对于集合A，B，C，如果AB，BC，那么AC．

（3）AA．

（3） 空集是任何非空集合的真子集．

六、 小结回顾

本节课学习了以下内容：

元素三要素：确定性、互异性、无序性

表示法：列举法、描述法、Veen图法

分类：有限集和无限集

集合与元素：“属于”或者”不属于“，记成a∈A，a∉A

集合与集合：子集、相等、真子集、空集

子集：A中任意一元素均为B中的元素，记做A⊆B或B⊇A

真子集：A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有，记做AB（或BA）

空集：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

【教师参考资料及来源】

中等职业教育十一五规划教材《数学》 学校图书馆电子数据库 人教版教参

【指定学生阅读材料】

中等职业教育十一五规划教材《数学》 高中数学必修一的第一章

课后分析:

教研室主任

审核签名

累计

学时

学习情境（项目）

第一章

集合与不等式

授课时数

2

周 次

班 级

内职三校生辅导班

时 间

年 月 日

节 次

- 节

教学内容

集合之间的关系

教学方式

课堂讲授

【学情分析】

【本节教学内容目标要求】

教学内容：1、交集，并集 2、补集，全集

目标要求：

知识目标：（1）掌握子集、真子集的概念；

（2）掌握两个集合相等的概念；

（3）会判断集合之间的关系.

能力目标：通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.

教学重点：掌握一元二次不等式的图像解法．

教学难点：真子集的概念．

【主要能力点与知识点应达到的目标水平】

在目标水平的具体要求上打√

【教学过程组织】

一、复习问题： 集合的概念及表示方法

二、导入新课： 集合与集合之间是什么关系？能不能加减呢？

三、教学内容

1． 交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作：（读作“A交B”），即：

显然有：，

，

。

思考AB=A，AB= 可能成立吗？

仿照上面可得并集的概念

2．并集：一般的，由所有属于集合A或属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记做AB。（读作A并B），即AB=

显然有AB=BA，AAB，BAB

思考：AB=A能成立吗？A 是什么集合？

四、例题讲解

例题1用列举法表示方程的解集。 答案{-1,3}

例题2求不等式的解集。 答案{x|x>4} 解析2x-3>5，2x>8，x>4

例题3已知a、b∈R,集合{0，,b}={1,a+b,a},求b-a的值 答案2

解析 由题知a≠0,则a+b=0，a=-b,所以 =-1，又由=a,得a=-1,所以b=1,b-a=2

例题4已知集合，若集合A中至多有一个元素，求实数的取值范

围． 答案a=0或a≤-1

解析当a=0时，x=-1 ,满足；当a≠0时，≤0，即4+4a≤0,所以a≤-1，综上，a=0或a≤-1

例题5已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}；则B中所含元素的个数为(　　) A．3　　　　　　　　　B．6 C．8 D．10 答案D

解析x＝5，y＝1,2,3,4；x＝4，y＝1,2,3； x＝3，y＝1,2；x＝2，y＝1.共10个

例题6设集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁RB)＝(　　)

A．(1,4) B．(3,4) C．(1,3) D．(1,2) 答案B

解析A＝(1,4)，B＝[－1,3]，则A∩(∁RB)＝(3,4)．

例题7设集合A＝{x|x＝，k∈N}，B＝{x|x≤5，x∈Q}，则A∩B 等于(　　)

A．{1,2,5}　 B．{1,2,4,5 }C．{1,4,5} D．{1,2,4} 答案B

解析当k＝0时x＝1；当k＝1时x＝2；当k＝5时x＝4；当k＝8时x＝5，故选B.

例题8如图，I是全集，A、B、C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是(　　)

A．(∁IA∪B)∩C B．(∁IB∪A)∩C C．(A∩B)∩∁IC D．(A∩∁IB)∩C

答案D 解析由图可知阴影部分所表示的集合是(A∩∁IB)∩C.故选D.

五、实训演练

（1） 教材P6习题1-2学生练习第1、2、3、8题

六、小结

理解两个集合的交集、并集的概念；

求交集、并集常用数形结合。

【教师参考资料及来源】

中等职业教育十一五规划教材《数学》 学校图书馆电子数据库 人教版教参

【指定学生阅读材料】

中等职业教育十一五规划教材《数学》 高中必数学修一的第一章

课后分析:

教研室主任

审核签名

累计

学时

学习情境（项目）

第一章

集合与不等式

授课时数

2

周 次

班 级

内职三校生辅导班

时 间

年 月 日

节 次

- 节

教学内容

不等式与区间

教学方式

课堂讲授

【学情分析】

【本节教学内容目标要求】

教学内容：

1、 比较两个数的大小 2、不等式的基本性质 3、区间的概念

目标要求：

知识目标：

1、解不等式的基本性质；

2、了解不等式基本性质的应用．

3、掌握区间的概念；

4、用区间表示相关的集合．

能力目标：

1、 了解比较两个实数大小的方法；

2、 培养学生的数学思维能力和计算技能．

教学重点：

1、 比较两个实数大小的方法；

2、 不等式的基本性质．区间的概念．

教学难点：比较两个实数大小的方法．区间端点的取舍．

【主要能力点与知识点应达到的目标水平】

在目标水平的具体要求上打√

【教学过程组织】

一、导入新课：

复习问题： 5与9那个大？为什么？ 我们先来比较两个数的大小

二、 不等式的基本性质：

1、比较两个数的大小

作差法 a-b>0 a>b a-b=0 a= b a-b<0 a

注：a b 为任意实数

作商法： a/b>1 a>b a/b=1 a=b a/b<1 a

注：a b 必须都大于0

例1 比较 4/3 与 5/4

例2 a >b ab2 与 ba2

2、不等式性质1 a>b b>c 则 a>c

不等式性质2 a>b a+-c>b+-c

不等式性质3 a>b c>d a+c>b+d

不等式性质4 a>b c<0 ac0 ac>bc

不等式性质5 a>b>0 c>d>0 ac>bd

让学生用语言叙述5个基本性质

三、 区间 

概念：一般地，由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间.其中，这两个点叫做区间端点.

不含端点的区间叫做开区间.如集合表示的区间是开区间，用记号表示.其中2叫做区间的左端点，4叫做区间的右端点.

含有两个端点的区间叫做闭区间.如集合表示的区间是闭区间，用记号表示.

只含左端点的区间叫做右半开区间，如集合表示的区间是右半开区间，用记号表示；

只含右端点的区间叫做左半开区间，如集合表示的区间是左半开区间，用记号表示.

引入问题中，新时速旅客列车的运行速度值（单位：公里/小时）区间为

因此，比较两个实数的大小，只需要考察它们的差即可。

例1：已知集合，集合，求：，．

解：两个集合的数轴表示如下图所示,

，　．

四、小结:

1、比较两个数大小的方

2、不等式的基本性质

【教师参考资料及来源】

中等职业教育十一五规划教材《数学》 学校图书馆电子数据库 人教版教参

【指定学生阅读材料】

中等职业教育十一五规划教材《数学》 高中数学必修一的第一章

课后分析:

教研室主任

审核签名

累计

学时

学习情境（项目）

第一章

集合与不等式

授课时数

2

周 次

班 级

内职三校生辅导班

时 间

年 月 日

节 次

- 节

教学内容

三种常见的不等式的解法

教学方式

课堂讲授

【学情分析】

【本节教学内容目标要求】

教学内容：

1、 一元二次不等式的解法 2、方程、不等式、函数的图像之间的联系

目标要求：

知识目标：

1、了解方程、不等式、函数的图像之间的联系；

2、 掌握一元二次不等式的图像解法．

3、理解含绝对值不等式

能力目标：

1、 通过对方程、不等式、函数的图像之间的联系的研究，培养学生的观察能力与数学

思维能力；

2、通过求解一元二次不等式，培养学生的计算技能．

教学重点：

1、方程、不等式、函数的图像之间的联系；

2、一元二次不等式的解法．

教学难点：一元二次不等式的解法．

【主要能力点与知识点应达到的目标水平】

在目标水平的具体要求上打√

【教学过程组织】

一、一元二次不等式：

1 、一元二次不等式定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0

2、 函数的图象是一条开口向上的抛物线。抛物线与轴两个交点的横坐标是，它们是一元二次方程的两个根。观察图象可知，当时，；即不等式的解集是：。类似可知：不等式的解集是：

指出利用二次函数的图象来解一元二次不等式更为直观明了，以这种方法教给同学们

3、 补充：一元二次不等式或

（1）当时，因相应的一元二次方程的两个根，那么不等式的解集是，不等式的解集是Φ。

（2）当时，因相应的一元二次方程没有实数根，那么不等式 的解集是R；

二、导入绝对值的意义

我们来一起看一下︱－2︱等于多少？︱2︱等于多少？而绝对值等于2的数又是谁？在数轴上怎样表示出来？

︱－2︱＝2，︱2︱＝2

绝对值等于2，可以表示成为一个含绝对值的一元一次方程︱x︱＝2 ，通过上面的 ︱±2︱，我们知道这个方程有两个解x＝2或x＝－2，在数轴上表示出来我们发现它们到原点的距离都为2，进一步也可以说是︱a︱表示为数轴上的到原点的距离等于a的点，我们称之为绝对值的几何意义。那么请大家在想想，我们一般把数分为正数，负数和零，那么它们的绝对值又应该是什么？好，请大家回过头看上面︱－2︱＝2，也就是说－2是负数，它的绝对值是它的相反数2，而︱2︱＝2，即正数的绝对值是它本身，根据绝对值的 几何意义我们也知道了 0的绝对值是它本身，用数学语言表示为 a, a＞0

︱a︱＝ 0, a＝0

－a, a＜0

我们称之为绝对值的数量意义，并且请大家注意了，绝对值还是一个非负数。

三、探索解含绝对值的不等式解法

︱x︱＝2表示数轴上的点到原点的距离为2的点，而它本身是一个含绝对值的方程，是一个含绝对值的等式，那么我们把“＝”转换成为不等号时，如：︱x︱＜2，按照等号的表示叙述方法，我们知道它表示数轴上的点到原点的距离小于2的点的集合，在数轴上看：

它包含了很多点，用上节课学过的知识，我们可以用集合来表示它，即｛x︱－2＜x＜2｝是一个点列的集合。

同理︱x︱＞2，表示数轴上的点到原点的距离大于2的点的集合，在数轴上看

请大家注意，在－2的左边，所有的点都是到原点的距离大于2的，用集合表示为｛x︱x＜－2｝而在2的右边部分，它们到原点的距离也是大于2的，也就是说｛x︱x＞2｝, 它们两部分都是︱x︱＞2的解，用集合表示为｛x︱x＜－2｝∪｛x︱x＞2｝，即为｛x︱x＜－2或x＞2｝，请大家注意了，做题一定不要漏解。

四、小结:

1、解一元二次不等式的步骤

1、解绝对值不等式的步骤

【教师参考资料及来源】

中等职业教育十一五规划教材《数学》 学校图书馆电子数据库 人教版教参

【指定学生阅读材料】

中等职业教育十一五规划教材《数学》 高中数学必修一的第一章

课后分析:

教研室主任

审核签名

累计

学时

学习情境（项目）

第一章

集合与不等式

授课时数

2

周 次

班 级

内职三校生辅导班

时 间

年 月 日

节 次

- 节

教学内容

充要条件

教学方式

课堂讲授

【学情分析】

【本节教学内容目标要求】

教学内容：

“充分条件”、 “必要条件” “充要条件”

目标要求：

知识目标：了解“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”．

能力目标：通过对条件与结论的研究与判断，培养思维能力．

教学重点：

（1）对“充分条件”、“必要条件”及“充要条件”的理解．

（2）符号“ ”，“ ”的正确使用．

教学难点：“充分条件”、“必要条件”、“充要条件”的判定．

【主要能力点与知识点应达到的目标水平】

在目标水平的具体要求上打√

【教学过程组织】

一、复习问题：什么时真子集合子集？

二、导入新课：集合分大小吗？

三、基础概念1、思考:下列两题中α是β的什么条件?

α:三角形中两个内角相等

β:三角形是等腰三角形

α:a－b=0

β: a = b

解:α β，且β α,所以，α既是β的充分条件， α又是β的必要条件。

充要条件:如果既有α β，又有β α，即有α β，即α既是β的充分条件， 又是β的必要条件，则α是β的充分且必要条件，简称充要条件。

2.、思考：

已知α是β的充要条件，把“如果α，那么β”作为原命题所得的四种命题的真假如何？已知α是β的充分非必要条件呢？已知α是β的必要非充分条件呢？

解：α是β的充要条件时，四个命题都为真命题。

α是β的充分非必要条件时，原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题。

α是β的必要非充分条件时，逆命题和否命题为真命题，原命题和逆否命题为假命题。

例：三个数x、y、z不都是负数的充要条件是 ( )

（A） x、y、z中至少有一个是正数（B） x、y、z都不是负数

（C） x、y、z中只有一个是负数

（D） x、y、z中至少有一个是非负数

例：“x1＞0 ，且x2＞0”是“x1 ＋x2＞0,且 x1 x2 ＞0”的( )

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件

（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件

例： “x1＞3，且x2＞3”是“x1 ＋x2＞6且 x1 x2 ＞9”的( )

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件

（C）充要条件（D）既非充分又非必要条件

例：设A是B的充分非必要条件，B是C的充要条件，D是C的必要非充分条件，则D是A的( )

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件

（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件

例：设A是B的充分非必要条件，B是C的必要非充分条件，同时B是D的充分非必要条件，C是D的必要非充分条件，则C是A的( ）

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件

（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件

四、充要条件的判断方法

（1）定义法：

①分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论；

②找推式：判断“pq”及“qp”的真假；

③下结论：根据推式及定义下结论.

（2）等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题.

（3）逆否法（这是等价法的一种特殊情况）

①若┒p┒q，则p是q的必要条件, q是p的充分条件；

②若┒p┒q，且┒q┒p，则p是q的必要非充分条件；

③若┒p┒q，则p与q互为充要条件；

④若┒p┒q，且┒q┒p,则p是q的既不充分，也不必要条件.

注意：对比“pq，则p是q的充分条件”和“┒p┒q，则p是q的必要条件”

例：“p：x≠2或y≠3”是“q：x+y≠5”的什么条件？

解析：因为┒p：x=2且y=3，┒q：x+y=5，而┒p┒q，且┒q┒p，所以q p且pq，即p是q的必要不充分条件。

五、小结：

四个逻辑条件及运算方法

对于两个不等式而言：

（ⅰ）解集范围小的成立，则解集范围大的也成立；但是，反过来不能成立．

（ⅱ）若两个不等式的解集无包含与被包含关系，则它们相互都不能推得

【教师参考资料及来源】

中等职业教育十一五规划教材《数学》 学校图书馆电子数据库 人教版教参

【指定学生阅读材料】

中等职业教育十一五规划教材《数学》 高中数学必修一的第一章

课后分析:

教研室主任

审核签名

累计

学时

学习情境（项目）

第一章

集合与不等式

授课时数

2

周 次

班 级

内职三校生辅导班

时 间

年 月 日

节 次

- 节

教学内容

第一章复习

教学方式

讲练

【学情分析】

【本节教学内容目标要求】

教学内容：

1、集合的表示方法 2、集合与集合的表示方法 3、不等式与区间的运用

4、三种常见不等式解法 5、充要条件

目标要求：

知识目标：（1）掌握集合的列举法与描述法，会用适当的方法表示集合．

（2） 掌握一元二次不等式的图像解法

（3） 掌握一元二次不等式的图像解法

能力目标：通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力.

教学重点：集合的表示法、不等式的解法、充要条件的判断．

教学难点：集合表示法的选择与规范书写、解一元二次不等式

【主要能力点与知识点应达到的目标水平】

在目标水平的具体要求上打√

【教学过程组织】

一、讲授新课：

例1，给出下列说法：①方程+|y+2|=0的解集为{-2,2};②集合{y|y=x2-1,x∈R}与集合{y|y=x-1,x∈R}的公共元组成的集合为{0，-1}；③区间（-∞，1）与（a，+∞）无公共元素。其中正确的个数为___________

解：对于①，解集应为有序实数对，错；对于②{y|y=x2-1,x∈R}=与集合{y|y=x-1,x∈R}=R，公共元素不只0与-1两个，错；③区间（-∞，1）与（a，+∞）无公共元素取决于1与a的大小，错。故正确的个数是0。

例2、已知集合M={x|x=3m+1,m∈Z}，N={y|y=3n+2,n∈Z},若x0∈M,y0∈N，则x0y0与集合M、N的关系是 。

解：[方法一]（变为文字描述法）M={被3除余数为1的整数}，N={被3除余数为2的整数}，余数为1×余数为2→余数为2，故x0y0∈N,x0y0M

[方法二]（变为列举法）M={…,-2,1,4,7,10,13,},N={…,-1,2,5,8,11,……}M中一个元素与N中一个元素相乘一定在N中，故x0y0∈N,x0y0M

[方法三]（直接验证）设x0=3m+1,y0=3n+2,则x0y0=9mn+6m+3n+2=3(3mn+2m+n)+2, 故x0y0∈N,x0y0M

例3，已知集合A={x|=1}是单元素集，用列举法表示a的取值集合B

解：B表示方程=1有等根或仅有一个实数根时a的取值集合。

⑴有等根时有：x2-x-2-a=0①且x2-2≠0②；①△=1-4(-a-2)=0,a=-9/4,此时x=1/2适合条件②，故a=-9/4满足条件；

⑵仅有一个实数根时，x+a是x2-2的因式，而=，∴a=±.当a=时,x=1+,满足条件；当a=-时,x=1-也满足条件总之，B={-9/4,- ， }

例4：已知A = {x | – 2 < x < – 1或x > 1}，A∪B = {x | x + 2 > 0}，A∩B = {x |1 < x ≦ 3}，求集合B。

解法：数轴上表示各集合后，分析得出结果。

分析：因为，

所以，

因为，

，

所以，

所以。

六、 小结回顾 无限集

有限集

分类

集合的概念

空集

确定性

元素的性质

集合

互异性

1、

列举法

无序性

集合的表示法

描述法

真子集

子集

包含关系

相 等

交集

集合运算

集合与集合的关系

并集

补集

【教师参考资料及来源】

中等职业教育十一五规划教材《数学》 学校图书馆电子数据库 人教版教参

【指定学生阅读材料】

中等职业教育十一五规划教材《数学》 高中数学必修一的第一章

课后分析:

教研室主任

审核签名

累计

学时

学习情境（项目）

第二章

函数

授课时数

2

周 次

班 级

内职三校生辅导班

时 间

年 月 日

节 次

- 节

教学内容

函数的概念与性质

教学方式

课堂讲授

【学情分析】

【本节教学内容目标要求】

教学内容：

1、 函数的概念 2、函数的定义域 3、函数的图像 4、函数的表示方法 5、函数的性质

目标要求：

知识目标：

1、理解函数的定义；

2、理解函数值的概念及表示；

3、理解函数的三种表示方法；

4、理解函数的单调性与奇偶性的概念；

5、会借助于函数图像讨论函数的单调性；

能力目标：

1、通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力；

2、通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能；

3、会利用“描点法”作简单函数的图像，培养学生的观察能力和数学思维能力．

5、通过函数奇偶性的判断，培养学生的数学思维能力．

教学重点：

1、函数的概念；

2、利用“描点法”描绘函数图像．

3、函数单调性与奇偶性的概念及其图像特征；

教学难点：

1、对函数的概念及记号的理解；

2、利用“描点法”描绘函数图像．函数奇偶性的判断．

【主要能力点与知识点应达到的目标水平】

在目标水平的具体要求上打√

【教学过程组织】

一、 复习问题： 我们学过的正比例函数 怎样表示

二、 导入新课：那么什么是函数呢？

三、 函数基本知识

1、函数的概念 自变量 变量

2、 函数的定义域 X取值范围

3、 分母不能为0 根号下大于等于0 0的0次方3没有意义

4、 函数的值域 y的取值范围

5、对应法则 即方程

6、函数相等

三个条件必需都一样

例1 函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋３ｘ＋１ 求f(2) f(-3)

例2 已知函数ｆ（ｘ）＝３ｘ２－５ｘ＋２，求ｆ（－３），ｆ（－），ｆ（ａ），ｆ（ａ＋１）.

四、三种表示方法

1 解析式法，即用方程来表示函数，一般情况用X来表示Y

2 列表法，较麻烦，一般做对比的时候用列表

3 描点法 ，不需要全部的描述，只需要描出有特点的几个点即可

对于不同的题目用不同的表示方法视情况而定

例 知一个长方形的周长为10，若一边设为x。问：该如何用x来表示面积y呢？写出其解析式，并列表作图。

分析：长方形：周长=两边边长的和*2

面积=两边边长的乘积

解

五、函数的单调性

例如：y=3x+2 请画出图像 并观察有什么特点，从图上可以看出函数的向右倾斜，有上升的趋势

Y=-3X+2 画出图像，观察其特点， 函数向左倾斜，有下降的趋势

函数的单调定义

如果 x1 f(x1) 函数为增函数

如果x1 f(x1)>f(x2) 函数为减函数

（1）函数的增减性必须从一个定义区间内讨论，否则就没有意义

（2） 函数必须是连续的

（3）函数的单调区间之间不能写成并集

（4）函数的单调性只是针对某个区间而言，有些函数在整个定义域上不是单调的，但是在定义域的某些区间上却存在单调性。即：函数的单调性是一个局部的性质。

六、函数单调性的证明

例1 证明当0

f(x1)- f(x2)= （x1+ x2）（x1- x2）<0

七、 函数奇偶性

对于任意的x f(-x)=f(x) 为偶函数

对于任意的x f(-x)=-f(x) 为奇函数

定义域关于原点对称

根据定义判断一个函数是奇函数还是偶函数的方法和步骤是：第一步先判断函数的定义域是否关于原点对称,第二步判断f(-x)=f(x)还是f(-x)=-f(x)

注意：

（1） 强调定义中任意二字。说明函数的奇偶性是函数在定义域上的一个整体性质。它不同于函数的单调性。

（2） 奇函数和偶函数的定义域的特征是关于原点对称。

（3） 奇函数和偶函数图象的对称性：

例1 判断函数的奇偶性

f(x)=4x 奇

f(x)=1x1 偶

【教师参考资料及来源】

中等职业教育十一五规划教材《数学》 学校图书馆电子数据库 人教版教参

【指定学生阅读材料】

中等职业教育十一五规划教材《数学》 高中数学教材

课后分析:

教研室主任

审核签名

累计

学时

学习情境（项目）

第二章

函数

授课时数

2

周 次

班 级

内职三校生辅导班

时 间

年 月 日

节 次

- 节

教学内容

反函数

教学方式

课堂讲授

【学情分析】

中职学生已经具备了一定观察、猜想、分析和归纳能力，但是学生的抽象能力还不是很强，由于本节内容抽象，学生不易理解，因此我采用了启发设问法：在复习回顾"映射" 、"函数"概念的基础上，精心设计问题链，通过一些具体的例子由浅入深，逐层展开，从而得到反函数的概念

【本节教学内容目标要求】

教学内容：

1、 反函数的概念 2、互为反函数的函数图象间的关系

目标要求：

知识目标：

让学生去探究、去发现反函数与原函数之间的关系，并能利用函数概念及反函数定义给予说明，掌握关系及运用关系解决一些简单问题；

能力目标：

通过优化问题设计，探究原函数与反函数之间的关系，培养学生观察、分析、猜想、归纳和自主探究的能力。

教学重点：

1、 反函数的概念和函数的求法

2、理解反函数概念并求出函数的反函数是本单元教学的重要内容。

教学难点：

1、反函数概念的接受能与理解，认清反函数的实质，对反函数的存在有正确的认识，复习函数的概念进而引出反函数的概念就是为突破难点做准备。

【主要能力点与知识点应达到的目标水平】

在目标水平的具体要求上打√

【教学过程组织】

一、提出问题，创设学习情境

问题1 函数的概念

问题2 y=f(x)中各变量的意义

问题3 画出函数与；与（）的图象

追问1 这两组函数的图像有什么关系？这两组函数有什么关系？

追问2 由，已知y能否求x？

追问3 是否是一个函数？它与有何关系？

追问4 与有何联系？

问题4 （1）函数y=2x+1(x是自变量)与函数x=2y+1(y是自变量)是否是同一函数？

（2）函数 (x是自变量)与函数x=2y+1(y是自变量)是否是同一函数？

（3）函数（）的定义域与函数（）的值域有什么关系？

二、引导思考，自主探究

通过上两组问题，为反函数概念的引出做了铺垫，利用旧知，引出新识，在“最近发展区”设计问题，使学生对反函数有一个直观的粗略印象，为进一步抽象反函数的概念奠定基础．面对一系列的问题，学生的求知欲望高涨，教师给予分析和引导，学生深入思考，开展讨论。

1、根据上述实例，教师与学生共同归纳出反函数的定义

函数y=f(x)(x∈A) 中，设它的值域为 C．我们根据这个函数中x,y的关系，用 y 把 x 表示出来，得到 x = (y) ．如果对于y在C中的任何一个值，通过x = (y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么, x = (y)就表示y是自变量，x是自变量 y 的函数．这样的函数 x = (y)(y ∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数.记作: ．考虑到“用 x表示自变量, y表示函数”的习惯，将中的x与y对调写成．

2、引导分析：

1）反函数也是函数；

2）对应法则为互逆运算；

3）定义中的“如果”意味着对于一个任意的函数y=f(x)来说不一定有反函数；

4）函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数x=f (y)的值域、定义域；

5）函数y=f(x)与x=f (y)互为反函数；

6）要理解好符号f；

7）交换变量x、y的原因．

3、两次转换x、y的对应关系

在上述探究的基础上，揭示反函数的定义，学生有针对性地体会定义的特点，进而对定义有更深刻的认识，与自己的预设产生矛盾冲突，体会反函数．在剖析定义的过程中，让学生体会函数与方程、一般到特殊的数学思想，并对数学的符号语言有更好的把握．

三、归纳总结

1、反函数也是函数；

2、原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；

3、总结求函数反函数的步骤:

1 由y=f(x)反解出x=f (y)．

2 把x=f (y)中 x与y互换得.

3 写出反函数的定义域.

（简记为：反解、互换、写出反函数的定义域）

四、例题练习

【例1】求下列函数的反函数

（1）y=3x-1 (2)y=x+1

【例2】求函数的反函数．

【例3】（1）有没有反函数?

（2）的反函数是________．

（3） (x<0)的反函数是__________．

五、巩固强化，评价反馈

1．已知函数 y=f(x)存在反函数，求它的反函数 y =f ( x)

（1）y=-2x+3(xR)

（2）y=- (xR,且x)

(3) y= (xR,且x)

2．已知函数f(x)= (xR,且x)存在反函数，求f (7)的值．

六、 反思小结，再度设疑

　　本节课主要研究了反函数的定义，以及反函数的求解步骤．互为反函数的两个函数的图象到底有什么特点呢？为什么具有这样的特点呢？我们将在下节研究．

【教师参考资料及来源】

中等职业教育十一五规划教材《数学》 学校图书馆电子数据库 人教版教参

【指定学生阅读材料】

中等职业教育十一五规划教材《数学》 高中数学教材

课后分析:

教研室主任

审核签名

累计

学时

学习情境（项目）

第二章

函数

授课时数

2

周 次

班 级

内职三校生辅导班

时 间

年 月 日

节 次

- 节

教学内容

幂的运算与幂函数

教学方式

课堂讲授

【学情分析】

【本节教学内容目标要求】

教学内容：

1、幂的运算 2、幂函数

目标要求：

知识目标：

1、 学习整数指数幂的知识；

2、 解n次根式的概念；

3、解分数指数幂的定义；

3、 掌握实数指数幂的运算法则；

4、 通过几个常见的幂函数，了解幂函数的图像特点

能力目标：

1、掌握根式与分数指数幂之间的转化；

2、 会利用计算器求根式和分数指数幂的值；

3、 计算工具使用技能.

4、确进行实数指数幂的运算；

5、通过对幂函数图形的作图与观察，培养学生的计算工具使用能力与观察能力.

教学重点：分数指数幂的定义．有理数指数幂的运算．

教学难点：根式和分数指数幂的互化．有理数指数幂的运算

【主要能力点与知识点应达到的目标水平】

在目标水平的具体要求上打√

【教学过程组织】

一、同底数幂的乘法

对于，总结法则如下：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：am·an=am+n（m、n都是正整数，）

当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质。例如：am·an·ap=am+n+p（m、n、p都是正整数）

二、积的乘方和幂的乘方

（1）幂的乘方：对于，由乘方的意义，可以写成，由同底数幂的法则可知==.

所以可以总结幂的乘方的法则.

①公式：

（am）n＝amn（m、n都是正整数）

［（am）n］p＝amnp（m、n、p都是正整数）

②法则

幂的乘方，底数不变，指数相乘.

（2）对于，由乘方的意义可以写成==

=.

对于积的乘方法则公式总结如下：

①公式

（ab）n＝an·bn（n是正整数）

（abc）n＝an·bn·cn（n是正整数）

②法则

积的乘方等于每一个因数乘方的积.

三、同底数幂的除法

对于，由乘方的意义，可以把这个式子写成==，由上面的式子也可以变换为.由上面的式子总结一下运算法则.

同底数幂的除法公式和法则

（1）公式：

（a≠0，m、n都是正整数，且）

（2）法则：

同底数幂相除，底数不变，指数相减.

注意：

Ⅰ. 在此公式中，底数a可代表数字，字母也可以是一个代数式.

Ⅱ. 此公式相除的幂必须底数相同，若不相同，需进行调整，化为同底数，才可用公式计算。

四、幂函数

定义：一般地，函数y＝xa叫作幂函数，其中x是自变量，a是实常数。（投影幂函数的定义。）

深化认知

（1）下列函数是幂函数的是：

A．y=2x+1 B．y=3x2 C．y=x-3 D．y=1

（2）幂函数与指数函数有什么联系和区别？

引导：有了幂函数的概念后，我们接下来做什么？―――研究幂函数的性质。

通过什么方式来研究？――――――画函数的图象。

为使作图高效，我们可先做点什么―――分析函数的定义域、奇偶性。

五、问题探究

1. 对于幂函数y＝xa，讨论当a＝1，2，3，，－1时的函数性质．

填表

以上问题给学生留出充分时间去探究，教师引导学生从函数解析式出发来研究函数性质．

2. 在同一坐标系中，画出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的图像，并归纳出它们具有的共同性质．

学生回答，老师点评：幂函数的性质．

（1）函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x-1的图像都过点（1，1）；

（2）函数y＝x，，y＝x3，y＝x-1是奇函数，函数y＝x2是偶函数;

（3在（0，＋∞）上, 函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝是增函数，函数y＝x-1是减函数；

（４）在第一象限内，函数y＝x-1图像向上与y轴无限接近；向右与x轴无限接近。

（六）归纳小结

今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获和经验？

【教师参考资料及来源】

中等职业教育十一五规划教材《数学》 学校图书馆电子数据库 人教版教参

【指定学生阅读材料】

中等职业教育十一五规划教材《数学》 高中数学教材

课后分析:

教研室主任

审核签名

累计

学时

学习情境（项目）

第二章

函数

授课时数

2

周 次

班 级

内职三校生辅导班

时 间

年 月 日

节 次

- 节

教学内容

指数函数

教学方式

课堂讲授

【学情分析】

【本节教学内容目标要求】

教学内容：

1、指数函数的定义 2、指数函数的图像与性质

目标要求：

知识目标：

1、 理解指数函数的图像及性质；

2、 了解指数模型，理解指数函数的图像及性质．

能力目标：

1、画出指数函数的简图；

3、 理解指数函数的图像及性质；

3、了解指数函数在生活生产中的部分应用，从而培养学生分析与解决问题能力．

教学重点：

1、数函数的概念、图像和性质；

2、指数函数的应用实例．

教学难点：指数函数的应用实例

【主要能力点与知识点应达到的目标水平】

在目标水平的具体要求上打√

【教学过程组织】

一、指数函数的概念　　

1 、形如y=ax 的函数.　　

这里a的取值范围如何呢？

主要有两个目的,使函数的定义域为R,且具有单调性.　　

（1）假设a=0,那么当x>0时，ax=0，当x≤0时，ax无意义；

(2) 假设a<0,那么ax对某些x值可能没有意义，如a=-1 时，（-1）x对于x=1/4,x=1/2,...无意义；

（3）假设a=1,那么y=1x=1对任意x 都是常数。为了避免出现上述情况，所以规定a>0且a≠1。　　

2、指数函数的定义：

一般地，函数y=ax(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数，其中x为自变量，定义域为R。　　

了解了什么是指数函数，还需进一步研究其性质，从“数”的角度研究其解析式有难度，我们转而从“形”的角度研究其图象，然后从图象中看能否发现规律总结出指数函数的性质。　　

先研究几个具体的指数函数图象： 　　

二、指数函数的图像与性质：　　

1、绘制图像　　

请同学们分成四组分别做出以下函数图像并讨论总结图象规律：　　

（1）y=2x

(2) y=2x 和y=　 　　　

(3) y=2x 和y=3x　　　

展示同学们的手作图，投影电脑已制作好的图象，

2、探究性质：

请同学们尝试归纳出图象的变化规律与特性：

1）过点（0，1）

2）y>0

3）底数a>1时，函数在 R上单调递增,"撇型”.

底数0时，函数在R上单调递减,"捺型”.其他规律（指数函数间图象的特性）：

当指数函数的底数互为倒数时，图象关于 y轴对称；

当底数a>1时，底数越大函数值增长越快越靠近y轴即底大图高，底数0时，情况相反。

3、归纳性质

将指数函数y=ax(a>0且a≠1)的性质（对应图象）归纳如下表，进行课件演示：

指数函数y=ax的性质（由课件展示）

三、指数函数的应用　　

1．例：已知指数函数的图象经过点，求的值。

解：因为的图象经过点，所以

即，解得，于是。

所以

四、总结

1. 指数函数的定义。（研究了对a的限定以及定义域）

2． 指数函数的图像

3． 指数函数的性质：

（1）定义域（-∞,+∞），值域（0,+∞）；

（2）函数的特殊值（0，1）；

（3）函数的单调性：a>1,单调增；0，单调减。

【教师参考资料及来源】

中等职业教育十一五规划教材《数学》 学校图书馆电子数据库 人教版教参

【指定学生阅读材料】

中等职业教育十一五规划教材《数学》 高中数学教材

课后分析:

教研室主任

审核签名

累计

学时

学习情境（项目）

第二章

函数

授课时数

2

周 次

班 级

内职三校生辅导班

时 间

年 月 日

节 次

- 节

教学内容

对数

教学方式

课堂讲授

【学情分析】

【本节教学内容目标要求】

教学内容：

1、对数的定义 2、对数的性质 3、对数的运算法则 4、对数的换底公式

目标要求：

知识目标：

1、 了解对数的概念，理解常用对数和自然对数的概念；

2、 掌握利用计算器求对数值的方法；

3、 了解积、商、幂的对数．

能力目标：

1、 进行指数式与对数式之间的互化；

2、 会运用函数型计算器计算对数值；

3、 培养计算工具的使用技能．

教学重点：指数式与对数式的关系．

教学难点：对数的概念．

【主要能力点与知识点应达到的目标水平】

在目标水平的具体要求上打√

【教学过程组织】

一、对数的定义

一般地，如果的次幂等于,即，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.

幂值 真数

注：1、在定义中注意底数的取值;

2、在中，，由此可以知道负数和零没有对数；

说明：对数的定义中为什么规定呢？

1、若时，则为某些值时，值不存在.

如：；

或者为某些值时，值不存在（无意义）

2、若时，则为某些值时，值不存在(值不唯一).

如：不存在（也可以表述为：0的多少次幂等于2？）；有无数多个值，值不唯一（0的任何非0次幂等于0）；

3、若时，则为某些值时，值不存在(值不唯一).

如：不存在（也可以表述为：1的多少次幂等于3？）；有无数多个值，值不唯一（1的任何次幂等于1）；

因此在上述的对数定义中规定：.

二、常用对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，为了简便，的常用对数简记为.

例如 简记为 ，简记为.

例1 将下列指数式写成对数式：

（1） （2）

（3） （4）

分析：根据对数的定义，我们只需要确定中的对应量，则问题得以解决.

解：（1） （2）

（4） （4）

四、 课堂练习

把下列指数式写成对数式：

（1） （2）

（4） （4）

把下列对数式写成指数式：

（1） （2）

（4） （4）

求下列各式的值：

（1） （2）

（3） （4）

对上述的3道题进行评讲，修正学生在解题中出现的错误，并强调应该注意的事项，与例题有同样的解题方法.

四、课堂小结

1、对数的定义（），对数与指数互化是对数与指数运算中常用的方法；

2、熟记：

3、注重转化思想的应用.

4、由对数的定义中，可以得到

注：以上三个式子可以作为公式直接使用.

【教师参考资料及来源】

中等职业教育十一五规划教材《数学》 学校图书馆电子数据库 人教版教参

【指定学生阅读材料】

中等职业教育十一五规划教材《数学》 高中数学教材

课后分析:

教研室主任

审核签名

累计

学时

学习情境（项目）

第二章

函数

授课时数

2

周 次

班 级

内职三校生辅导班

时 间

年 月 日

节 次

- 节

教学内容

对数函数

教学方式

课堂讲授

【学情分析】

【本节教学内容目标要求】

教学内容：

1、对数函数的定义 2、对数函数的图象与性质

目标要求：

知识目标：

1、 了解对数函数的图像及性质特征；

2、 了解对数函数的实际应用.

能力目标：

1、 了解对数函数的图像及性质特征；

2、 通过应用实例的介绍，培养学生数学思维能力和分析与解决问题能力.

教学重点：对数函数的图像及性质.

教学难点：对数函数的应用中实际问题的题意分析．．

【主要能力点与知识点应达到的目标水平】

在目标水平的具体要求上打√

【教学过程组织】

一、复习问题：对数的运算

如果且，，那么

（1）

（2）

（3）

二、 导入新课：什么是指数函数呢？

1、 对数函数的定义：函数叫对数函数

2、分类：分两种情况:

1、a>1

2、 >1 a>0

3、性质

1.定义域 : X>0

2.值域: R

3.奇偶性 :既不是奇函数也不是偶函数

4.截距:在Y轴上没有,在X轴上为1.

4、 图像的画法

5 、指数函数与对数函数的联系

指数函数 和对数函数x=㏒ay刻画的是同一对变量x，y之间的关系，所不同的是：指数函数 中 ， x是自变量， y 是 x 的函数，其定义域是 R ，值域是 （0，+∞） ；对数函数x=㏒ay中， y 是自变量， x 是 y 的函数，其定义域是 （0，+∞） ， 值域是 R 。像这样的两个函数互为反函数。

由于对数函数通常写成y=㏒ax（a>0，a≠1）。因此，指数函数 （a>0,a≠1)是对数函数y=㏒ax (a>0,a≠1)的反函数,同时,对数函数y=㏒ax (a>0,a≠1)也是指数函数

(a>0, a≠ 1) 的反函数 。

三、练习

【教师参考资料及来源】

中等职业教育十一五规划教材《数学》 学校图书馆电子数据库 人教版教参

【指定学生阅读材料】

中等职业教育十一五规划教材《数学》 高中数学教材

课后分析:

教研室主任

审核签名

累计

学时