转化思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想,在研究数学问题时,我们通常是将未知问题转化为已知的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将抽象的问题转化为具体的问题,将实际问题转化为数学问题,我们也常常在不同的数学问题之间互相转化,可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。
例题分析
例1 解方程组
分析:从表面上看此题属于二元三次方程组的求解问题,超过我们所掌握的知识范围,但仔细分析可将方程组变形为
,再利用换元法,问题就迎刃而解了。
解:设
原方程组可化为
解之,得 即
解之,得
例2 若m、n、p同时满足下面二式:,求的取值范围。
分析:直接利用已知条件中的两个等式得到的取值范围不好下手,如果换个角度考虑可变形为,令,,,则已知条件可转化为方程组,进而找到a、b与c的关系,可以确定所求式子的取值范围。
解:设,则
由(1)、(2)可得
(3)
(4)
此时, (5)
由(3)得
,由(4)得
由(5)得
例3 如图,中,BC=4,,P为BC上一点,过点P作PD//AB,交AC于D。连结AP,问点P在BC上何处时,面积最大?
分析:本题从已知条件上看是一个几何问题,而求最大值又是一个代数问题,因此把几何问题转化为代数中的函数问题是解题的关键,为了完成这种转化,需要把位置关系转化为数量关系,得出函数解析式。
解:设BP=x,的面积为y
作于H
则
化简得
配方得
即P为BC中点时,的面积最大
这时的面积最大值为
例4 已知二次函数过点O(0,0),A(),B()和C()四点。
(1)确定这个函数的解析式及m的值;
(2)判断的形状;
(3)若有一动圆⊙M,点M在x轴上,与AC相切于T点,⊙M和OA、OC分别交于点R、S,求证弧长为定值。
分析:(1)由于二次函数过三个定点,因此可以利用待定系数法确定函数的解析式,进而求出m的值。
(2)分别计算出OA、OC、AC的长即可判定的形状。
(3)这一问综合性较强,需要根据条件列出点的坐标,再利用方程和距离公式求解。
解:(1)的图象过点O(0,0)、A()、B()
解得
二次函数解析式为
的图象过点
(2)
是等边三角形
(3)设点M的坐标为(P,0)
⊙M与AC相切于T点
⊙M的半径为
若⊙M与OA、OC分别交于则
由(1)、(2)知,是方程的两个根
即的两根为
是等边三角形,
的弧长为(定值)
说明:本例是一个综合问题,尤其是第(3)小题体现了代数与几何的综合,需将几何中的点用坐标表示出来,再通过代数方法列出方程通过距离公式确定的形状,从而确定的度数,最后计算出的弧长。
例5 如图,两圆同心,大圆的弦AD交小圆于B、C两点,AE切小圆于点E,连结CE,直线BE交大圆于P、Q两点,已知BE=AE=b,AB=a。
求证:(1)CD、CE的长是方程的两个根;
(2)求PB的长。
分析:此例不仅把线段CD、CE的长作为关于x的一元二次方程的根,还将含线段长a、b的代数式作为方程的系数,所以解此例的关键是用几何知识寻找线段CD、CE与实数a、b的等量关系,用含a、b的代数式表示CD、CE的长。
略解:(1)依题意,可证
得CE=AC
由切割线定理,得,即
又CD=AB=a
的长是方程的两个根
(2)由相交弦定理,得
即
解得 (不合题意,舍去)
易错题分析
例1. 四边形ABCD中,,AC平分,,,求BC和AB的长。
分析:本题是四边形问题,通常要转化为直角三角形来解决。由已知,AC平分,所以想到由C点作于E,作于F。由已知可求出CF,由,可知CE的长,通过解可求出BC的长。BE也可求,再通过解由勾股定理求出AE的长,这样,AB的长就求出来了。
解:作于E,于F
在中,
在中,
由勾股定理,
综上所述:。
点评:本题有的同学没有思路,但如果想到由已知,想到作AD边上的高线,再由AC平分想到从C点作角的两边的垂线段,总之,把四边形转化为直角三角形解决问题。
例2. 四边形ABCD中,,,,,求AB。
分析:本题是四边形问题,可以通过分割或补全直角三角形进行转化,从而解决问题。
解:过D点作的延长线于E,若为钝角,作延长线于F,(若为锐角,作于F,同理)
在中,,,
,
四边形EBFD是矩形
在中,
点评:本题通过分割或补全直角三角形来求解四边形,注意对的讨论。有可能是锐角、直角或钝角,但无论是什么角,都不影响解题的结果。
例3. 在四边形ABCD中,,,,求CD的长。
分析:本题也是四边形问题,需要转化为直角三角形解决。
解:若是锐角,(是钝角或直角同理)过C点作于F,过C点作的延长线于E。
四边形AECF是矩形
在中,
在中,
点评:以上三个题组成一个题组,都是解四边形的问题。在四边形中,常常通过分割或补全直角三角形来求解四边形。其实质就是把四边形的问题转化为直角三角形的问题,所运用的数学思想就是转化的思想。以上三题容易错的地方是如何把四边形通过分割或补全直角三角形,另外要注意计算不要出错。
练习
一. 选择题:
1. 若x、y都是实数,且,则的值是( )
A. 12 B. -12 C. D. 9
2. 设关于的二次方程的两根为,若,则的值是( )
A. 3 B. -1 C. 3或-1 D. -3
3. 如图,梯形ABCD中,AB//DC,AB=a,BD=b,CD=c,且a、b、c使方程有两个相等实数根,则和的关系是( )
A. B. C. D.
4. 在关于x的一元二次方程中,a、b、c是的三条边,,那么这个方程根的情况是( )
A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有实数根 D. 有两个不相等的实数根
5. 已知a、b、c是三边的长,b>a=c,且方程两根的差的绝对值等于,则中最大角的度数是( )
A. B. C. D.
6. 已知a、b、c是三条边长,关于x的方程有两个相等的实数根,且,则的值是( )
A. 1 B. C. D.
7. 若是直角三角形两锐角,那么关于x的一元二次方程根的情况是( )
A. 有两个相等的正根 B. 有两个不等的负根
C. 有一正根和一个负根 D. 没有实数根
二. 填空题:
1. 在长方形内有1989个点,以这1993个点(包括长方形四个顶点)为顶点画三角形,使每个三角形内部都不包含其它已知点,则这个长方形被分成________个三角形。
2. 方程在区间(-4,0)中有两个不相等实根,则m的取值范围是_______。
3. 在中,,D是BC中点,于E,,AE=7,则DE的长为_______。
三. 解答题:
1. 解分式方程:.
2. 已知为实数,证明:。
3. 如图,AB是半圆O的直径,O是圆心,若,,求四边形ABCD的周长和面积。
4. 已知:如图,在中,E是BC的中点,D在AC边上,若AC长是1,且,,求。
5. 已知边长为1的正方形ABCD内接于⊙O,延长BC到点E,使CE=BC,连接AE交⊙O于F,求证:EF、FA的长是方程的两根。
疑难解答
A. 教师自己设计问题:
1. 怎样运用转化思想证明模拟试题中的解答题的第2小题?
2. 模拟试题中解答题的第4小题怎样把一般三角形转化为特殊三角形?
B. 对问题的解答:
1. 模拟试题中解答题的第2小题是证明不等式的问题,可以转化为一元二次方程根的判别式来证明,这就需要构造出合适的一元二次方程,可以
设,则
,
,即,
为实数,
将上面方程看成的一元二次方程时,, ,
。
2. 答:和都是一般斜三角形,直接根据已知条件不易求得结果,但是由于中AC已知,且,若以AC为一边和以为一内角构成直角三角形或一个等边三角形,则这两种三角形面积都能求。
(1)如图:过C作AB的垂线交AB的延长线于G
可证
这是构成直角三角形的解法
(2)如图:以AC为一边,为一内角,构成正三角形ACG
作的平分线交GA于F
则
可证
试题答案
一.
1. B 2. C 3. A 4. D 5. B 6. D 7. A
二.
1. 3980个 2. 3.
三.
1. 提示:原方程转化为
即,令 解方程后检验
知是原方程的解
2. 提示:可转化为一元二次方程根的判别式来证明
3. 提示:连结OD、OC,作于E,可得,四边形周长
4. 提示:可以构造直角三角形或等边三角形来解,
5. 提示:由勾股定理,得,由割线定理,得,,,将代入方程左边,右边=0,是方程的根,同理也是方程的根,EF、FA是方程的两根。
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