平面向量及其线性运算
教学内容:平面向量及其线性运算(2课时)
教学目标:理解平面向量的概念、向量的几何表示及向量相等的含义,掌握平面向量的线性
运算(向量加法、减法、数乘)的性质及其几何意义,理解平面向量共线的条件
和平面向量的基本定理.
教学重点:平面向量的线性运算.
教学难点:用基底表示平面内的向量.
教学用具:三角板
教学设计:
一、知识要点
1. 平面向量的有关概念
(1)向量:既有大小又有方向的量;向量的基本要素:大小和方向.
(2)向量的表示:
①几何表示法;用有向线段来表示向量,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的
方向表示向量的方向;②字母表示:或.
(3) 向量的长度(模):即向量的大小,记作或.
(4) 特殊的向量:零向量:;单位向量:为单位向量.
(5) 相等的向量:大小相等,方向相同的向量.
(6) 相反向量: .
(7) 平行(共线)向量:方向相同或相反的向量,称为平行(共线)向量,记作∥.
2. 向量的线性运算
运算 | 运算法则 | 运算性质 |
向量加法 | 是一个向量, 平行四边形法则 三角形法则 | |
向量减法 | 是一个向量, 三角形法则 | |
数乘向量 | 是一个向量, 满足, 时,同向; 时,异向; 时,. | |
3.重要定理、公式
(1)平面向量基本定理:如果,是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平
面内任一向量,有且仅有一对实数,,使. 其中不共线的向量,
称为基底.
(2)向量共线定理:向量与向量共线的充要条件是有且仅有一个实数,使得,
即∥.
二、典型例示
例1 判断下列命题是否正确:
① 零向量没有方向;② 两个向量当且仅当它们的起点相同,终点也相同时才相等;
③ 单位向量都相等;④ 在平行四边形中,一定有;
⑤ 若,,则;⑥ 若∥,∥,则∥;
⑦的充要条件是且∥;⑧ 向量就是有向线段;
⑨若∥,则直线∥直线;⑩ 两相等向量若共起点,则终点也相同.
解:只有 ④、⑤、⑩ 三个命题正确. 如⑧不正确,是因为有向线段仅仅是向量的直观体
现,我们可以用有向线段来表示向量,但向量可以用不同的有向线段表示,只要
这些有向线段的长度相等方向相同即可,因此向量与有向线段是有区别的.
注:正确理解向量的有关概念是作出正确判断的前提.
例2 (1)化简下列各式:①;②;
③;④;⑤.
(2)若是的中点,则 , , .
注:正确运用向量的运算法则和运算律进行化简,尤其要注意差向量起点和终点的选择.
例3 已知,,则等于( )
A. B. C. D.
注:逆用向量的运算法则,体现逆向思维.
例4 设,,,判断下列命题的真假:(1)若,则
三个向量可构成;(2)若三个向量可构成,则;并由此回答下列
问题:若命题甲为,命题乙为三个向量可构成,则命题甲是命题乙的什
么条件?
注:注意向量运算的几何意义,体现数形结合思想.
例5如图,梯形中,∥且,,分别是和的中
点,设,,试用,表示和.
解:
;
.
注:关键在于确定一条从所求向量起点到终点的路径,然后再借助于向量的运算逐步转
化成用基底表示.
三、课堂练习
1.已知分别是的边上的中线,且,则为( )
A. B. C. D.
2.已知,则是三点构成三角形的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
3. 对平面内任意的四点A,B,C,D,则 .
4. 化简:
(1)_____________;
(2)______________;
(3)______________.
5. 判断下列命题是否正确
(1)若,则.
(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同.
(3)若,则是平行四边形.
(4)若是平行四边形,则.
(5)若,则.
(6)若,则.
6. 若,,与的方向相反,则 .
四、课堂小结
五、课外作业
1.下面给出四个命题:①对于实数m和向量,恒有
②对于实数m、n和向量,恒有
③若
④若,则m=n 其中正确的命题个数是 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.在平行四边形中,若,则必有 ( )
A. B. C.是矩形 D.是正方形
3.下列命题中,正确的是( )
A.若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则
4. 下列说法中错误的是( )
A. 向量的长度与向量的长度相等
B. 任一非零向量都可以平行移动
C. 长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量
D. 两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同.
5.分别是的边的中点,且给出下列命题
①②③④
其中正确的序号是_________。
6.若,则__________。
7. 两列火车,先各从一站台沿相反方向开出,走了相同的路程,这两列火车位移的和是______。
8. 如图,是以向量为边的平行四边形,又,试用表示。
9. 已知是内的一点,若,
求证:是的重心.
10. 在水流速度为的河中,如果要使船的速
度行驶方向与两岸垂直,并使船速达到12,求
船的航行速度与方向。
本文来源:https://www.2haoxitong.net/k/doc/0a5ea683f71fb7360b4c2e3f5727a5e9846a2741.html
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