函数（教学课件）

《函数》

《函数基础知识》

一、平面直角坐标系

1、具有公共原点的两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系；

2、有序数对准确地确定平面内点的位置；

3、象限（注：坐标轴不属于任何象限）

4、点M （a、b）关于x轴的对称点的坐标是（a、－b）；关于y轴的对称点的坐标是（－a、b）；关于原点的对称点的坐标是（－a、－b）

二 、函数

1、概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应，那么y是x的函数，x是自变量；

2、函数的表示法：解析法、列表法、图象法（画函数图象的方法：列表、描点、连线）；

3、自变量的取值范围：整式（一般为全体实数）、分式（使分母不为0的实数）、二次根式（使被开方数为非负数的实数）、分式与二次根式的综合。

例1、（1）已知在平面直角坐标系中有一点P（2m－5，m＋1），若点P在x轴上，则m＝ ；若点P在第二象限，则m的取值范围是 ．

（2）已知平面直角坐标系中两点A（x、1），B（－5、y）

①若点A、B关于x轴对称，则x＝ ，y＝ ；②若点A、B关于y轴对称，则x＝ ，y＝ ；③若点A、B关于原点对称，则x＝ ，y＝ ；

（3）足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用右边那幅图刻画（ ）

例2、写出以下函数中自变量x的取值范围：

①, ;②, ;③, ;

④, ;⑤, .

例3、如图，在平面直角坐标系中，，，．

（1）求出的面积．

（2）在图中作出关于轴的对称图形，写出点的坐标．

（3）在图中作出关于原点逆时针旋转90的，写出点、、的坐标．

练习：

一、填空与选择题

1、点在第二象限，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

2、在直角坐标系中，点M（sin50°，－cos70°）所在的象限是（　　）

A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限

3、如果点M在直线上，则M点的坐标可以是（ ）

A．（－1，0） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，－1）

4、如右图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用(－40，－30)表示，那么(10，20)表示的位置是（ ）

A．点A B．点B C．点C D．点D

5、将点向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到对应点的坐标是 ．

6、点A(-2,1)关于y轴对称的点的坐标为___________,关于原点对称的点的坐标为________.

7、写出函数中自变量的取值范围： ①, ;②, ;

③, ;④, .

8、某天，小明走路去学校，开始他以较慢的速度匀速前进，然后他越走越快走了一段时间，最后他以较快的速度匀速前进到达学校。小明走路的速度V（米/分钟）是时间t（分钟）的函数，能正确反映这一函数关系的大致图象是（ ）

二、如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为、、．

（1）若将向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的；

（2）画出绕原点旋转后得到的；

（3）与是中心对称图形，请写出对称中心的坐标：___________；

（4）顺次连结，所得到的图形是轴对称图形吗？

《一次函数》

一、一次函数的概念：

1、一次函数： 正比例函数：

2、一次函数的图象是一条直线（正比例函数的图象一定经过原点）

二、一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是直线，其性质为：

1、当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0， y随x的增大而减小；即“k”的值决定直线的方向，“b”的值决定直线与y轴的交点坐标；

2、直线与x轴的交点坐标为（），与y轴的交点坐标为（0，b），如下图：

① ② ③ ④

三、直线的平移、平行、垂直

1、平移：左“＋”右“－”，上“＋”下“－”；

*2、直线与直线相互：平行（）；垂直（）。

例1、（1）在平面直角坐标系中，函数的图象经过（ ）

A．一、二、三象限 B．二、三、四象限

C．一、三、四象限 D．一、二、四象限

（2）一次函数与的图象如图，则下列结论：①；②；③当时，中，正确的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

（3）小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ）

A．12分钟 B．15分钟 C．25分钟 D．27分钟

例2、已知与成正比例，且时，

（1）求出与之间的函数关系式；

（2）设点在这个函数的图像上，求a；

（3）若的取值范围是，求的取值范围．

例３、已知直线经过点（－2，4），且与x轴交于点（）.求：

⑴、直线的解析式；⑵、直线与两坐标轴围成的三角形面积.

练习：一、选择与填空题

1、过点（2，3）的正比例函数的解析式是

2、已知一次函数的图象如图所示，那么、的取值范围（ ）

A．， B．， C．， D．，

3、一次函数的图象不经过（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

4、函数与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是

5、已知与x成正比例，且时，，则y与x之间的关系式是

6、某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（ ）

A、20kg B、25kg

C、28kg D、30kg

7、直线经过点（ ，－3）

8、如图，已知函数和的图象交于点P, 则根据图象可得，关于的方程组的解是 ；不等式的解集是 ．

二、解答题

1、如图，一个正比例函数的图象和直线的图象交于点 A（－1，2），求这两个函数的解析式及△ABO的面积

2、已知一次函数的图象经过（2，5）和（－1，－1）两点．

（1）在给定坐标系中画出这个函数的图象；（2）求这个一次函数的解析式．

3、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如右表：若日销售量y是销售价x的一次函数．

（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；

（2）求销售价定为30元时，每日的销售利润．

*4阅读下面的材料：

在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图象所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，且，我们就称直线与直线互相平行.

解答下面的问题：

（1）求过点且与已知直线平行的直线的函数表达式,并画出直线的图象；

（2）设直线分别与轴、轴交于点、，如果直线：与直线平行且交轴于点，求出△的面积关于的函数表达式.

《反比例函数》

一、反比例函数的概念

1、形如（k≠0）的函数叫反比例函数；反比例函数也可写作、

2、反比例函数的图象是双曲线．

二、反比例函数的图象和性质

1、若k＞0，双曲线在第一、三象限，在每个象限内，y分别随x的增大而减小；如果k＜0，双曲线在第二、四象限，在每个象限内，y分别随x的增大而增大。

2、比例系数k的几何意义：若点M双曲线上，则矩形AOBM的面积等于

例1、已知图中的曲线是反比例函数（为常数）图象的一支．

（1） 这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数的取值范围是什么？

（2）若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象内限的交点为，过点作轴的垂线，垂足为，当的面积为4时，求点的坐标及反比例函数的解析式．

例2、已知一次函数的图像与反比例函数的图象交于A、B两点，且点A的横坐标与点B的纵坐标都是－2。

　　求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积

练习：一、填空与选择题

1、函数（k≠0）的图象过点（2，-2），则此函数的图象在（ ）

A、第一、三象限 B、第三、四象限 C、第一、二象限 D、第二、四象限

2、已知反比例函数经过点（-1，2），那么一次函数的图象一定不经过（ ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

3、一个矩形的面积为24cm2，长为ycm，宽为xcm，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）

4、直线与双曲线的图象的一个交点坐标为（2，4），则它们的另一个交点坐标是（ ）

A、（-2，-4） B、（-2，4） C、（-4，-2） D、（2，-4）

5、已知函数是反比例函数，且图像在第二、四象限内，则的值是

A．2　　　　B．　　　　C．　　　　　D．

6、函数与在同一坐标系中的大致图像是（ ）

二、解答题

1、在反比例函数的图像的每一条曲线上，都随的增大而减小．

（1） 求的取值范围；

（2） 在曲线上取一点A，分别向轴、轴作垂线段，垂足分别为B、C，坐标原点为O，若四边形ABOC面积为6，求的值．

2、如图，已知直线与双曲线交于A、B两点，且点A的横坐标为4．（1）求k的值；

（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；

3、已知：如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与轴交于点B、A，与反比例函数的图象分别交于点C、D，轴于点E，．

（1）求该反比例函数的解析式；（2）求直线AB的解析式．

*4、如图，P1是反比例函数在第一象限图像上的一点，点A1 的坐标为(2，0)．

（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1O A1的面积 将如何变化？

（2）若△P1O A1与△P2 A1 A2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A2点的坐标．

《二次函数（一）》

1、二次函数的概念：形如(其中a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，其中x是自变量，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项.

2、二次函数的关系式与图象、性质

3、平移的法则：上“＋”下“－” ；左“＋”右“－.”

例1、已知函数是关于x的二次函数，求：(1)满足条件的m值；(2) m为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x为何值时，y随x的增大而减小?

例2、分别用公式法和配方法求出抛物线的顶点坐标、对称轴，并说明抛物线通过怎样的平移得到该抛物线.

练习：一、填空与选择题

1、抛物线的顶点坐标是 ；抛物线的开口_______，顶点坐标是 ；抛物线的对称轴是 .

2、配方二次函数的结果是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ；配方二次函数的结果是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 .

3、二次函数的最大值是3，则a＝_______．

4、二次函数的最 值等于________.

5、若y＝(2－m)是二次函数，且开口向上，则m的值为（ ）

A、 B、－ C、 D、0

6、函数中，当x1＞x2＞0时，则y1与y2的大小关系为 .

7、抛物线向左平移1个单位，再向下平移2两个单位后得到的抛物线解析式为

8、抛物线的对称轴是直线（ ）

A． B． C． D．

9、下列四个函数中，y随x增大而减小的是( )

A． B． C． D．

10、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝（b＋c）x在同一坐标系中的大致图象可能是（）

二、在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m）与飞行时间x（s）的关系满足：. (1）经过多长时间，炮弹到达它的最高点？最高点的高度是多少？(2）经过多长时间，炮弹落到地上爆炸？

三、已知抛物线y＝－x2＋2x＋2．

（1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ；

（2）选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；

（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．

《二次函数（二）》

4、二次函数与一元二次方程存在着密切的关系，抛物线（）与x轴的交点的横坐标就是方程（）的解.当时，抛物线与x轴有两个交点（即一元二次方程有两个不相等的实数根）；当时，抛物线与x轴有一个交点（即一元二次方程有两个相等的实数根）；当时，抛物线与x轴有没有交点（即一元二次方程没有实数根）.

注：抛物线（）与x轴的交点的坐标的求法：取，求出方程的解、，则交点的坐标为（，0）、（，0）；抛物线（）与y轴的交点的坐标的求法：取，得，则交点的坐标为（0，c）；

5、二次函数与一元二次不等式也存在密切的关系：取，得不等式；取，得不等式，根据抛物线上点的纵坐标的符号及相应的点横坐标可求出不等式的解集.

6、待定系数法：将函数图象上的点的坐标代入假设的函数关系式中，求出函数关系式的方法. 待定系数法在二次函数中运用的要点是要掌握好两个表达形式：

若条件中已知抛物线顶点的坐标，则可设成顶点式：，再代入另一个点的坐标；若条件中没有顶点的坐标，则应设成一般式：，再代入已知点的坐标．

例１、⑴、抛物线与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为

⑵、若抛物线与x轴没有交点，则的取值范围是

⑶、函数的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）

A、＞0 B、＞0 C、＜0

D、方程的两根和为正

⑷、函数的图象如右图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是（ ）

A． B．

C． D．

例２、根据下列条件求二次函数的关系式：

（1）图象经过点，，．

（2）图象的顶点为（2，6），且经过点（－1，－3）．

例３、已知抛物线.(1)、试说明该抛物线与x轴一定有两个交点；(2)、若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它与y轴的交点为P，求△ABP的面积.

练习：一、填空与选择题

1、函数的图象经过点(－1, 0)，则 b＝＿＿＿＿。

2、抛物线与 y 轴的交点坐标是　　　　　　　　；与x轴的交点坐标是 　　　　　　　　　

3、已知抛物线的图像如右图所示：则函数的解析式是 y＝　　　　　　　　　　　　

4、二次函数的图象与x轴的交点的个数为（ ）

A、0 B、1 C、2 D、不能确定

5、二次函数的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（ ）

A、＜0 B、＞0 C、＞0 D、＞0

6、二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

9、抛物线的顶点在 x 轴上，则 c 的值是（　　）

A、0 B、4 C、－4 D、2

10、若二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的一个解，另一个解 ．

二、如图，△OAB是边长为2的等边三角形，过点A的直线与x轴交于点E

⑴求点E的坐标；⑵求过 A、O、E三点的抛物线解析式；

三、如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．

（1）求抛物线的解析式；（2）求点B的坐标

四、如图，已知二次函数的图象经过A（2，0）、B（0，－6）两点。

（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积。

五、二次函数的图象如图9所示，根据图象解答下列问题：

（1）写出方程的两个根；

（2）写出不等式的解集；

（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围；

（4）求出该抛物线的解析式．

*六、如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点A（－1， 0）和点B（0，－5）．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．

《函数的实际应用》

函数是重要的数学模型，在解决实际问题时，要充分利用条件，借助题目中的图、表或数量理清各个量之间的关系，并辨识应使用哪一种函数，将实际问题转化为数学问题；在解题过程中要考虑自变量的取值范围。

其中，二次函数的应用主要有两种：一类是最优化问题，即运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值；一类是综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等问题.

例1、某商厦试销一种成本为50元/件的商品，规定试销时的销售单价不低于成本，又不高于80元/件，试销中销售量（件）与销售单价（元/件）的关系可近似的看作一次函数（如图所示）

（1）求与间的关系（4分）

（2）设商厦获得的毛利润（毛利润销售额成本）为（元），销售单价定为多少时，该商厦获利最大？最大利润是多少？（6分）

例2、市园林处为了对一段公路进行绿化，计划购买两种风景树共900棵．两种树的相关信息如下表：

若购买种树棵，购树所需的总费用为元．

（1）求与之间的函数关系式；

（2）若购树的总费用不超过82000元，则购种树不少于多少棵？

（3）若希望这批树的成活率不低于94%，且使购树的总费用最低，应选购两种树各多少棵？此时最低费用为多少？

例3、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价1元，每星期可多卖出4件.

（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？

（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？

例4、为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图9所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）写出从药物释放开始，与之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？

练习：

1、一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系：t＝，其图象为如图所示的一段曲线且端点为A（40，1）和B（m，0.5）．

（1）求k和m的值；

（2）若行驶速度不得超过60 km/h，则汽车通过该路段最少需要多少时间？

2、甲乙两人同时登西山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：

（1）甲登山的速度是每分钟______米，乙在A地提速时距地面的高度b为______米．

（2）若乙提速后，乙的速度是甲登山速度的3倍，请分别求出甲、乙二人登山全过程中，登山时距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．

（3）登山多长时间时，乙追上了甲？此时乙距A地的高度为多少米？

3、某产品每件成本价20元，试销阶段产品的日销量y(件)与每件产品的销售价x(元)之间的关系如下表：

⑴、若日销量y(件)是每件产品的销售价x(元)的一次函数，求日销售量y(件)与每件产品销售价x(元)的函数关系式；

⑵、要使日销售利润w(元)最大，每件产品的销量价x(元)应定为多少，此时日销售利润是多大？

4、某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，则每月可售出500个.据市场调查，若售价每提高1元，销售量相应减少10个.

⑴求出利润y与售价x之间的函数关系式；

⑵求出当售价为多少时有最大利润，最大利润是多少？

5、我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售。按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满。根据下表提供的信息，解答以下问题：

（1）设装运A种脐橙的车辆数为，装运B种脐橙的车辆数为，求与之间的函数关系式；

（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案；

（3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值。

*6、已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．

（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．

（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．

（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．

本文来源：https://www.2haoxitong.net/k/doc/d83ad99dafaad1f34693daef5ef7ba0d4b736d0d.html